花新矿

[摘   要]数学课堂教学的高效源于“问题”的解决.以“问题”为主线，从多方面、多角度引导学生自主探究解决问题的方法，可以拓宽学生解题思路，开阔学生思维.

[关键词]问题导学;高效课堂;高中数学

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）17-0025-02

一、问题的提出

题目：在双曲线[x23-y2=1]上，求一点P，使它和两焦点[F1、 F2]的连线互相垂直.

教师：本题是课本中一道具有代表性的习题，可以说它是圆锥曲线问题的典例之一，涉及探究曲线上特殊点问题.通过对该问题的探究，让学生掌握此类问题的解决办法，进而归纳出问题解决的通法，对变式问题的探究具有指导意义.

问题一：请同学们想一想，本题有几种解题方法？（开门见山，提出学习任务）

二、解题方法的探究

教师悉心引导学生思考问题，并按要求写出解题过程.为了合作学习，教师特地请几位学生代表口述其解法，分享研究成果，教师板书.

解法一：[a=3]，[b=1]，[c=2]，设[Px0 ， y0]，[F1-2， 0]，[F22， 0]，由[PF1⊥PF2]得，[k1k2=-1]，即[y0x0+2?y0x0-2=-1?x20+y20=4.]又[x203-y20=1]，解方程组[x20+y20=4，x203-y20=1，]得[x20=154，y20=14，]所以满足题意的点P共有4个，即

[P1152，  12] ，[P2152，-12] ，[P3-152，  12] ，[P4-152，-12].

解法二：由[PF1⊥PF2]可知，点P是在以[F1F2]为直径的圆上，且[F1F2=2c=4]，[x20+y20=4].又[x203-y20=1]，以下解题过程同上.（略）

解法三：由[PF1⊥PF2]得，[PF1?PF2=0]，[PF1=-2-x0，-y0]，[PF2=2-x0，-y0]，由[PF1?PF2=0]得[-2-x0?2-x0+y20=0]，即[x20+y20=4].以下解题过程同上.

解法四：因为[PF1=ex0+a]，[PF2=ex0-a]，其中[e=23]，[a=3]，所以[PF1=23x0+3]，[PF2=23x0-3]，由[PF12+PF22=F1F22]，[23x0+32+23x0-32=4]，解得[x20=154].又[x203-y20=1]，所以[y20=14].以下解题过程与解法一相同.

解法五：设[PF1=m]，[PF2=n]，则由[PF1⊥PF2]得[m2+n2=16]，不妨设[m>n]，则由双曲线定义可知，[m-n=23]，[F1F2=4]，由方程组[m2+n2=16，m-n=23，]得[mn=2].设[△PF1F2]的面积为S，则[S=12mn=1].又[S=12F1F2×y0=2y0]，所以[y0=12].以下解题过程同上.

教师针对以上五种解法，可提出下面的问题.

问题二：你能说说以上解法的理论依据吗？

解法一是根据平面解析几何中当两条直线的斜率……