邱奉美+刘峤

摘 要：数学归纳法是一种用于证明与正整数有关的数学命题的基本方法，有助于发展学生的创造性思维，培养学生观察、推理、归纳以及数学证明能力。文章研究数学归纳法在不等式证明问题、几何问题中的应用。

关键词：数学归纳法；高中数学；数学思维；能力培养

中图分类号：G421；G633.6 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2016）25-0047-01 数学归纳法是中学数学证明题中常用的思想方法之一，近年来，数学归纳法的灵活运用是高考考查的重点。在高中数学教学中，教师要加以重视，有效渗透，巧妙运用，从而提升学生观察、推理、归纳以及数学证明能力。数学归纳法主要用于证明与正整数n有关的命题的正确性。通常包括三个主要步骤：一是找准起点，归纳奠基。证明当n取第一个值n=n0时（n0=1或2时），命题结论成立。二是猜想假设，逻辑推理。假设n=k（k≥n0，k∈N+）时的命题结论成立，那么则可以利用已知条件和假设条件推导出n=k+1时的命题结论也成立。三是综合归纳，做出判断。即综合步骤一和二，总结命题的正确性。

一、数学归纳法在不等式证明问题的应用

数学归纳法在证明不等式问题方面有着广泛的应用，可以优化解题过程，提高解题效率。在运用数学归纳法证明不等式问题时，若直接进行证明，往往难度较大。此时，需要借助不等式的可加性和传递性，细心观察，大胆联想，适时假设不等式与目标不等式的特征关系，从而使问题迎刃而解。因此，教师要重视解题方法的指导，提高学生的解题能力。

【例题】证明：如果n（n为正整数）个正数a1，a2，…，an的乘积a1a2…an=1，那么它们的和a1+ a2+…+ an≥n.

【证明】（1）当n=1时，有a1=1，命题正确。（2）假设当n=k时，命题成立，即若k个正数的乘积a1a2…an=1，则有a1+ a2+…+ ak≥k。当n=k+1时，已知k+1个正数a1，a2 ，…，ak，ak+1满足条件a1a2…ak+1=1。若这k+1个正数a1，a2，…，ak，ak+1都相等，则它们都是1，其和为k+1，命题得证。若这k+1个正数a1，a2，…，ak，ak+1不全相等，则其中必有大于1的数与小于1的数，否则与a1a2…ak+1=1相矛盾。不妨设a1>1，a2<1，将乘积a1a2看成一个数，这样就可以得到k个正数a1，a2，a3，…，ak，ak+1的乘积是1，借助归纳假设法，可以得到a1+a2+a3+…+ak+ak+1≥k。∴a3+a4+…+ak+ak+1≥k-a1a2，∴a1+a2+…+ak+ak+1-（k+1）≥a1+a2+k-a1a2-（k+1）=-（a1-1）（a2-1），∵a1>1，a2<1，∴-（a1-1）（a2-1）>0，∴a1+a2+…+ak+ak+1-k-1>0，即a1+a2+…+ak+ak+1>k+1，∴当n=k+1时，命题成立。综合（1）和（2），可知对于一切正整数n，如果n个正数a1，a2，…，an的乘积a1a2…an=1，那么它们的和a1+a2+…+an≥n这一命题成立。

【点评】该题的关键点，是要由“假设不等式”成立推证到“目标不等式”成立。当由“假设不等式”向“目标不等式”过渡存在一定的困难时，需要架桥铺路，构设“中间不等式”，借助“中间不等式”完成向“目标不等式的过渡”。

二、数学归纳法在几何问题中的应用

在数学解题过程中，运用数学归纳法解决几何问题，需要借助由特殊到一般的方法。先进行猜想，得出一般性结论用于假设条件，然后再运用数学归纳法，由特殊值开始论证，以验证特殊性的成立。接着，证明假设条件n=k时命题成立，从而分析推导出n=k+1时的命题也成立。

【例题】n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，请问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？

【解析】设这些半圆最多互相分成f（n）段圆弧，借助从特殊到一般的方法，进行猜想和验证。第一种情况：当n=2时，两个半圆交于一点，则可分成4段圆弧，故f（2）=4=22。第二种情况：当n=3时，三个半圆交于三点，则可分成9段圆弧，故f（3）=9=32。第三种情况：当n=4时，四个半圆交于六点，则可分成16段圆弧，故f（4）=16=42。由此可以猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f（n）= n2。借助数学归纳法加以证明：（1）当n=2时，f（2）=4=22，命题成立。（2）假设n=k时，f（k）=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得更多的圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆与原k个半圆中的每个半圆中的一段圆弧分成两段弧，这样就可多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成了k+1段，这样又多出了k+1段圆弧。∴f（k+1）=k2+k+（k+1）=k2+2k+1=（k+1）2，∴满足条件的（k+1）个半圆被所有的交点最多分成（k+1）2段圆弧。综合（1）和（2）可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧。

【点评】该题的关键，是找出几何元素从k个变成k+1时所证的几何量将增加多少，此时需要借助几何图形加以分析。增加一个半圆时，圆弧段增加的条数，可从f（2）=4，f（3）= f（2）+2+3，f（4）=f（3）+3+4中发现规律：f（k+1）=f（k）+k+（k+1）。

三、结束语

总之，数学归纳法的巧妙运用对于发展学生的创造性思维，培养学生观察、推理、归纳以及数学证明能力起着积极的促进作用。在高中数学教学中，教师要注意有效渗透数学归纳法，结合典型例题分析，帮助学生掌握数学归纳法，培养学生思维深刻性和创造性，提升学生数学解题能力。

参考文献：

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[2]朱华伟，史亮.高中数学新课程标准中的归纳[J].数学通讯，2005（13）.