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数学归纳法在高中数学教学中的应用研究

2016-10-08

成才之路 2016年25期
关键词:数学思维能力培养高中数学

邱奉美+刘峤

摘 要:数学归纳法是一种用于证明与正整数有关的数学命题的基本方法,有助于发展学生的创造性思维,培养学生观察、推理、归纳以及数学证明能力。文章研究数学归纳法在不等式证明问题、几何问题中的应用。

关键词:数学归纳法;高中数学;数学思维;能力培养

中图分类号:G421;G633.6 文献标志码:A 文章编号:1008-3561(2016)25-0047-01 数学归纳法是中学数学证明题中常用的思想方法之一,近年来,数学归纳法的灵活运用是高考考查的重点。在高中数学教学中,教师要加以重视,有效渗透,巧妙运用,从而提升学生观察、推理、归纳以及数学证明能力。数学归纳法主要用于证明与正整数n有关的命题的正确性。通常包括三个主要步骤:一是找准起点,归纳奠基。证明当n取第一个值n=n0时(n0=1或2时),命题结论成立。二是猜想假设,逻辑推理。假设n=k(k≥n0,k∈N+)时的命题结论成立,那么则可以利用已知条件和假设条件推导出n=k+1时的命题结论也成立。三是综合归纳,做出判断。即综合步骤一和二,总结命题的正确性。

一、数学归纳法在不等式证明问题的应用

数学归纳法在证明不等式问题方面有着广泛的应用,可以优化解题过程,提高解题效率。在运用数学归纳法证明不等式问题时,若直接进行证明,往往难度较大。此时,需要借助不等式的可加性和传递性,细心观察,大胆联想,适时假设不等式与目标不等式的特征关系,从而使问题迎刃而解。因此,教师要重视解题方法的指导,提高学生的解题能力。

【例题】证明:如果n(n为正整数)个正数a1,a2,…,an的乘积a1a2…an=1,那么它们的和a1+ a2+…+ an≥n.

【证明】(1)当n=1时,有a1=1,命题正确。(2)假设当n=k时,命题成立,即若k个正数的乘积a1a2…an=1,则有a1+ a2+…+ ak≥k。当n=k+1时,已知k+1个正数a1,a2 ,…,ak,ak+1满足条件a1a2…ak+1=1。若这k+1个正数a1,a2,…,ak,ak+1都相等,则它们都是1,其和为k+1,命题得证。若这k+1个正数a1,a2,…,ak,ak+1不全相等,则其中必有大于1的数与小于1的数,否则与a1a2…ak+1=1相矛盾。不妨设a1>1,a2<1,将乘积a1a2看成一个数,这样就可以得到k个正数a1,a2,a3,…,ak,ak+1的乘积是1,借助归纳假设法,可以得到a1+a2+a3+…+ak+ak+1≥k。∴a3+a4+…+ak+ak+1≥k-a1a2,∴a1+a2+…+ak+ak+1-(k+1)≥a1+a2+k-a1a2-(k+1)=-(a1-1)(a2-1),∵a1>1,a2<1,∴-(a1-1)(a2-1)>0,∴a1+a2+…+ak+ak+1-k-1>0,即a1+a2+…+ak+ak+1>k+1,∴当n=k+1时,命题成立。综合(1)和(2),可知对于一切正整数n,如果n个正数a1,a2,…,an的乘积a1a2…an=1,那么它们的和a1+a2+…+an≥n这一命题成立。

【点评】该题的关键点,是要由“假设不等式”成立推证到“目标不等式”成立。当由“假设不等式”向“目标不等式”过渡存在一定的困难时,需要架桥铺路,构设“中间不等式”,借助“中间不等式”完成向“目标不等式的过渡”。

二、数学归纳法在几何问题中的应用

在数学解题过程中,运用数学归纳法解决几何问题,需要借助由特殊到一般的方法。先进行猜想,得出一般性结论用于假设条件,然后再运用数学归纳法,由特殊值开始论证,以验证特殊性的成立。接着,证明假设条件n=k时命题成立,从而分析推导出n=k+1时的命题也成立。

【例题】n个半圆的圆心在同一条直线l上,这n个半圆每两个都相交,且都在直线l的同侧,请问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧?

【解析】设这些半圆最多互相分成f(n)段圆弧,借助从特殊到一般的方法,进行猜想和验证。第一种情况:当n=2时,两个半圆交于一点,则可分成4段圆弧,故f(2)=4=22。第二种情况:当n=3时,三个半圆交于三点,则可分成9段圆弧,故f(3)=9=32。第三种情况:当n=4时,四个半圆交于六点,则可分成16段圆弧,故f(4)=16=42。由此可以猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f(n)= n2。借助数学归纳法加以证明:(1)当n=2时,f(2)=4=22,命题成立。(2)假设n=k时,f(k)=k2,那么当n=k+1时,第k+1个半圆与原k个半圆均相交,为获得更多的圆弧,任意三个半圆不能交于一点,所以第k+1个半圆与原k个半圆中的每个半圆中的一段圆弧分成两段弧,这样就可多出k条圆弧;另外原k个半圆把第k+1个半圆分成了k+1段,这样又多出了k+1段圆弧。∴f(k+1)=k2+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2,∴满足条件的(k+1)个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧。综合(1)和(2)可知,满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧。

【点评】该题的关键,是找出几何元素从k个变成k+1时所证的几何量将增加多少,此时需要借助几何图形加以分析。增加一个半圆时,圆弧段增加的条数,可从f(2)=4,f(3)= f(2)+2+3,f(4)=f(3)+3+4中发现规律:f(k+1)=f(k)+k+(k+1)。

三、结束语

总之,数学归纳法的巧妙运用对于发展学生的创造性思维,培养学生观察、推理、归纳以及数学证明能力起着积极的促进作用。在高中数学教学中,教师要注意有效渗透数学归纳法,结合典型例题分析,帮助学生掌握数学归纳法,培养学生思维深刻性和创造性,提升学生数学解题能力。

参考文献:

[1]马茂年,俞昕.课堂教学回归“数学化”的讨论和分析[J].数学教育学报,2013(03).

[2]朱华伟,史亮.高中数学新课程标准中的归纳[J].数学通讯,2005(13).

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