?孙慧敏

【摘 要】本文基于全景式数学教育理念和皮亚杰心理发展理论设计“三角形内角和”的教学，构建了“测量—操作—发现—推理—拓展”的学习路径，学生在对误差的质疑中经历完整的认知过程，逐步从操作走向推理，从形象走向抽象，数学文化与非欧几何的融入拓展了学生的认知边界，深化对三角形内角和理解的同时链接了未来的学习。

【关键词】三角形内角和 实验操作 分析推理 非欧几何 全景式数学教育

“三角形内角和”是北师大版数学四年级下册的教学内容，教材按照“情景启动—度量发现—操作验证—得出结论”这样的学习路径进行编排。通过量一量、拼一拼、折一折等操作活动，引导学生用实验的方法得出“三角形的内角和是180°”的结论。

一般的教学思路是先让学生测量三角形三个内角的度数并求和，再组织学生通过剪、拼、折等操作活动将三个内角移到一起组成一个平角，得出“三角形内角和是180°”的结论。学生在实际测量过程中经常会碰到量出来的三个内角的和并不是180°的情况，或偏大一点，或偏小一点;还有的学生为确保量的结果是180°而只量两个角，然后用180°减去两个角的和，从而求出第三个角的度数。学生用“剪”“撕”的方法时，混淆了原三角形的内角和新生成的角，拼不成平角，还有学生不知道如何把三个内角折成平角。

纵观整个教学过程，学生虽经历了动手实践、合作探究等过程，但他们的活动始终在结论范围内，整个过程少了一些应具备的数学理性思考。

一、基于全景式教育理论和皮亚杰心理理论的教学思考

全景式数学教育认为：“学习是从孩子该开始、想开始的地方开始。”实际上，在教学之前，很多学生已经知道三角形内角和是180°，却是“知其然不知其所以然”。

实际教学时，当学生量出来的三个内角和不是180°时，我们会告诉学生，测量有误差。其实，学生也会产生质疑，测量会有误差，难道拼、折等活动过程中就没有误差吗？如果有误差，怎么能确认拼接起来的就是真正的“平角”呢？如果不能确认拼出的是平角，那么这个180°是如何認定的呢？

任何操作都无法完全避免误差，学生在量、拼、折的操作活动中“凭借自己的眼睛”得出的结论只能说明三角形内角和是180°的可能性最大，要想严谨、规范地证明结论，则需要用到有关的几何定理，而这超出了小学阶段的学习范畴。

在全景式数学教育课堂中要想做到既让学生“知其然”，又让学生“知其所以然”，需要重新思考以下问题：怎样的操作活动能让学生心服口服？对于小学生来说，有没有办法从数学的角度来验证？如何设计教学才能做到形象与抽象、直观与理性有机融合呢？整个教学过程能给学生的思考力带来哪些增量？

瑞士心理学家皮亚杰指出，每一个结构都是心理发生的结果，而心理发生就是从一个较初级的结构过渡到一个不那么初级的（或复杂的）结构。他强调，认知的获得必须用一个将结构主义和构建主义紧密结合起来的理论来说明。可见，在皮亚杰看来，心理发展是在主客体相互作用的基础上，通过主体不断构建心理结构而实现的。因此，在教育活动中必须努力促进学生逐步形成“心理结构导致学习活动，学习活动使心理结构得到发展”的永无止境的互惠循环关系，从而使个体的心理结构不断地发展，并逐步达到成熟的水平。

以上述理论为依据重新设计三角形内角和的教学，构建了“测量—操作—发现—推理—拓展”的认知历程和思考过程，让学习逐步从操作走向推理，从形象走向抽象，培养学生的几何直观能力，为后续学习证明奠定基础，深化对数学知识的理解。

二、基于全景式教育理念和认知科学的教学实践路径

（一）动手操作不断激发学生思考发现

苏霍姆林斯基说：“运用直观的手段，绝不是为了整节课抓住学生的注意力不放，而是为了在教学的某一阶段上使儿童摆脱形象，在思维上过渡到概括性的真理和规律上去。”从哲学视角观察，探索三角形内角和是意义复原的过程，从多角度、多向度理解三角形内角和与180°的结构联系;从知识结构视角观察，这是学生经历沟通对话、相互融合之后的一种“获得”，是外在数学结构在学生个体心理上的投射。

在教学中，学生经历了四次操作。第一次是测量求和，第二次是拼平角，两次操作之后还是不能确定三角形的内角和是180°，学生会产生这样的疑问：我的操作和已有结论为什么不一样？学生思维“卡壳”后，在教师的提示下学生进行第三次操作“转笔实验”，建立内角和与180°的内在联系。第四次操作引导学生想象，并引入极限思想。经历这四次操作，学生的思维被激活，从形象逐渐发展到抽象，在此过程中积极、主动地建构良好的认知结构。正因为学生的大脑中产生了“问题”，学生才会循着线索不断思考，不断深入，并广泛联结，从而达到融会贯通的程度。

活动1：量一量

（1）测量内角，求和并记录。

学生分小组活动，并完成书本上的记录单，在此过程中强调数据要真实。

（2）小组汇报交流测量结果。

思考：通过测量，你们发现了什么？为什么会出现179°、182°……呢？凭借我们测量的结果，你们能确定三角形的内角和是180°吗？

教师小结：量角过程中确实会有误差，但从测量的数据能看出三角形的内角和非常接近180°。有没有更好的办法来验证三角形的内角和是180°呢？

【设计说明：通过让学生亲自动手测量不同三角形三个内角并计算内角和，学生能感受到测量过程中误差的真实存在，并由此引发思考“三角形的内角和是180°”这个结论通过测量无法得出，还有没有更合理的方法？从而培养学生实事求是、诚实严谨的实验态度。】

活动2： 拼一拼，折一折

（1）学生用剪或撕的方法将一个锐角三角形的三个内角拼成一个平角，然后完成直角三角形和钝角三角形三个内角拼成一个平角的撕拼过程。

（2）学生用折的方法将一个锐角三角形的三个内角拼成一个平角，然后完成直角三角形和钝角三角形三个内角折成平角的过程。

思考：在剪、撕、折的过程中，你们发现了什么？它们与测量求和法有什么联系？

教师小结：刚才我们用的几种方法都属于操作实验验证，只要是操作，就不可避免一个问题——产生误差。那么，“三角形的内角和是180°”是怎么认定的呢？

【设计说明：本环节中学生动手操作，完善了不同方法验证三角形内角和的过程，在整个操作过程中误差仍难以避免，这又促使学生思考：还有没有更直观、精准的方法？】

活动3：转笔演示

学生提前在纸上画好一个三角形（任意），标出三个内角，准备一支笔。

第一步：把笔放在三角形的一条边上，记住笔头和笔尾的朝向。

第二步：以笔尾为中心旋转∠1的度数。

第三步：以笔头为中心旋转∠2的度数。

第四步：以笔尾为中心旋转∠3的度数。

思考：转完三个内角后，观察笔头和笔尾的朝向，你们发现了什么？

教师小结：这是数学家帕斯卡验证的方法，在转笔开始之前，笔头是朝左，转了三个角之后，笔头朝右了，这说明三个角之和是180°。

活动4：想象（极限思想）

出示一个任意三角形，三个内角分别是∠1、∠2、∠3，三个外角分别是∠a、∠b、∠c。从图中可知∠1+∠a=180°、∠2+∠b=180°、∠3+∠c=180°。这六个角的度数就是180°×3 = 540°。

借助演示文稿动态演示图形变化，让三角形不断变小（形状不变），边演示边让学生想象。

思考：当三角形越来越小时（形状不变），直至最后变成一个点，你们能得到三角形的内角和吗？

教师小结：当三角形变成一个点后，原来的三个外角就组成了一个周角，周角是360°，则消失的三个内角的度数和是180°×3-360°=180°，由此可知三角形内角和是180°。

【设计说明：在操作活动中补充转笔方法和想象（极限思想）方法，是对小学阶段实验几何、经验几何的提升，让学生深刻体会从靜态到动态的数学研究方法，使其在直观操作的基础上拓宽思路，获得理性思考的启迪，培养空间想象能力。】

（二）数学文化引导学生思维向深度发展

历史是根，文化是土壤，全景数学认为应在数学历史文化中学习知识和技能，而不是在知识技能中渗透数学史和数学文化。在教学中引入数学家泰勒斯、帕斯卡的故事，学生跨越时空了解了他们解决问题的策略，提升了自身认知的弹性，促进了对知识的融会贯通。事实上，学生了解知识的源头和其背后的发展史的过程也是其在知识还原过程中理解“三角形内角和是180°”这一结论的过程，而且数学家那种不懈追求的探索精神在激发学生兴趣的同时也让他们感受到了数学极富魅力的一面。

故事：泰勒斯发现三角形内角和

相传，泰勒斯为了装修房子，从市场上买来了等边三角形地砖。当他铺好地砖欣赏时，发现了一个非常有趣的现象：把六块同样的正三角形的顶点置于同一点，结果恰好填满该点周围的区域，不重叠也没有缝隙。这表明大小相同的六个角相加恰好等于360°，从而得出“六个内角之和等于四个直角，三个内角之和等于两个直角”的结论。有了这一重要发现之后，爱动脑筋的泰勒斯进一步思考：等腰三角形以及更一般的三角形拼起来，是否也有同样的结果？

思考：六个同样的等腰三角形可以拼成什么样呢？六个同样的普通三角形（三边都不相等）又可以拼成什么样子的图呢？

结论：六个内角之和等于四个直角，三个内角之和等于两个直角，从而发现“任意三角形三个内角和等于两直角”，即三角形的内角和是180°。

【设计说明：数学中的概念、定律等都是经过漫长的时间不断发展而来的，用故事的形式向学生再现数学家泰勒斯发现三角形内角和的过程，其实也是一种推理过程，而且能拉近学生与数学家之间的距离。】

活动5：数学推理

（1）直角三角形的内角和

将一张正方形纸沿对角线剪开，得到两个完全相同的直角三角形。你能求出一个直角三角形的内角和吗？如果是长方形纸呢？

小结：正方形或长方形的内角和是360°，那么一个直角三角形的内角和就是180°。

（2）锐角三角形和钝角三角形的内角和

任意一个三角形，我们可以沿着它的高将它分成两个直角三角形。

两个直角三角形的内角和：180°+180°=360°。

一个三角形的内角和：360°-90°-90°=180°。

教师小结：这个方法是数学家帕斯卡发现的，当时他12岁，之后，数学家毕达哥拉斯和欧几里得相继给出了证明。学到这里，大家对于“三角形的内角和是180°”应该深信不疑了吧！等你们进入了初中，还会进行严格意义上的证明，因为数学定理是要证明的。

【设计说明：学生经历推理三角形内角和的过程，感悟数学依靠推理获得正确结论。】

（三）课外拓宽引领学生走向全景认知

全景式数学教育主张：学习要整体先构，先见“森林”，一开始就给学生一个完整的世界，让学生尽可能丰富、完整、全面地认识数学，活跃、完整学生的思维。“三角形内角和是180°”是欧几里得几何中的一个定理，但在非欧几何里却不一定是180°。为了让学生对知识有一个完整的认知，在本课快结束时适时对学生进行了追问。（1）课件出示地球图片（如图1）：如果在地球上画一个三角形，它的内角和还是180°吗？（2）课件出示马鞍图片（如图2）：如果在马鞍上画一个三角形，它的内角和还是180°吗？

通过让学生展开想象，合情推理，发现与我们本节课所研究的三角形的区别后，引入黎曼几何和罗氏几何，拓宽学生的知识面。这样一个看似简单的问题，却将学生带到了另一个思维层面。整节课学生深度参与，深刻体验，从形象到抽象，从实验到推理，全面地研究了三角形的内角和，成就了课堂的精彩。

【设计说明：当学生已经从头到尾了解了三角形的内角和之后，带其了解非欧几何中三角形的内角和，打开视野，形成对三角形内角和的全面认知。】