张振兴

摘  要：把一个正方形通过分割拼接成为一个矩形，很多情况下它们的面积看似相等但并不相等. 研究发现，改进分割拼接方案后可以使两者的面积更接近，甚至相等，这与“黄金分割”密切相关，据此能找到不同整数范围内理想的分割方案. 对此类问题的研究，能有效培养学生良好的数学思维品质.

关键词：面积问题;黄金分割;数学思维

一、问题呈现

日本当代著名数学教育家远山启在《数学与生活》一书中指出，面积的测量基于一个潜在的原理，即把图形分割、排列后其面积不变. 这个观点其实就是我国魏晋时期的著名数学家刘徽（约225年—约295年）提出的“出入相补”原理. 远山启在书中用了下面的例子加以说明.

例  把边长为8 cm的正方形按照如图1所示的实线进行分割，然后拼接成如图2所示的矩形，则正方形的面积与矩形的面积看起来好像相等，但事实却并非如此.

[S正方形=82=64 cm2， S矩形=5×5+8=5×13=65 cm2，]

[S矩形-S正方形=1 cm2.] 可见，它们的面积并不相等，拼接后的矩形面积比原来的正方形面积增加了1 cm2，但是增加的面积仅占矩形面积的[165，] 肉眼很難发现.

究其原因，是图2中矩形的对角线并非拼接线，拼接后的真正图形如图3所示，对角线变成了一个四边形（阴影部分）.

二、问题探讨

1. 中间的四边形是什么形状？

由图1中的分割方案可知，两个直角三角形全等，两个直角梯形全等，则它们的对应边相等. 所以可知中间四边形的两组对边分别相等，所以这个四边形是平行四边形.

2. 为什么中间可以出现四边形？……