李织兰 蒋晓云 秦云霞

【摘要】本文以“认识296”教学片段为例，论述“千以内数的认识与表达”教学策略，以数小棒、整理纪念币、錢币认识数的组成，以十进制象形计数法认识数的简化书写，以算筹计数法认识数的优化表示，对比算筹和阿拉伯数字从而感知现代计数的形式，培养学生解决数学问题时进一步“优化”“简化”“美化”的良好习惯。

【关键词】小学数学 数的认识 十进位值计数法

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2021）25-0060-03

在“千以内数的认识与表达”的教学中，“会读、写千以内的数”不是最主要的教学目标，而应着力通过生动、丰富的素材，引导学生回溯计数的源头理解十进位值制计数法，感受符号化思想和“十进制位值”的文化价值。学生回顾对数的认识的历史，真切地感受到数学的产生和发展是源于现实世界的各种需要，融入了人类的精神、思想、情感。在一次次追求“更简、更优”的过程中，学生受到数学文化的熏陶。现将《千以内数的认识》一课的“认识296”教学片段分享如下。

一、认识数的组成

（一）数小棒

师：请根据以前的学习经验，对小棒进行整理，每10根捆成一捆。

（整理后的小捆数比较多，不能“一目了然”，需要再次整理——将10小捆捆成1大捆，引入单位“百”。）

师：这种整理办法就是十进制。满十进一：10个“一”是1个“十”，10个“十”是1个“百”。

（二）整理纪念币

师：粗心的懒羊羊总数不清自己有多少球赛纪念币，非常难过。聪明的同学们能帮他整理一下吗？怎样整理？

（10个一排，10排组成一方块，学生能一目了然地知道有多少个纪念币。）

（三）整理钱币

师：上周，学校举办了“情系恭城瑶族红领巾义卖活动”，大家纷纷拿出自己的零花钱参与活动，既向我们学校帮扶的恭城瑶族新街民族小学的小朋友献了爱心，又买到了自己喜欢的物品。活动结束了，这是我们班的义卖款。生活委员张磊要负责统计今天的营业额，看上去有点多，也有点乱，大家一起来给他出主意，如何整理一下？

（先分类，相同面额的钞票放在一起。再一元一元地数，十元十元地数。）

师（出示整理后的图片）：能一目了然吗？张磊也觉得拿着这么多钱不方便，怎么办呢？老师这里有好多10元、100元，谁来和我换一换？

（10张一元可兑换成1张十元，10张十元可兑换成1张百元。）

师：经整理、兑换后，我们班的义卖款是：2张百元，9张十元，6张一元。

师：一而十，十而百，百而千，千而万。“满十进一”的计数方法是数学发展史上一个了不起的进步。有了“十进制”，我们就能将较多物品的数量整理得“一目了然”。

【设计意图】通过整理实物，能一目了然地知道物品的数量，让学生经历多元表征理解296的组成是一个重要的过程性目标，理解千以内的数的组成，感悟计数单位“百”产生的必要性，“个”“十”与“百”之间的进率是教学的重点和难点。整理实物的过程中，学生体会十进制计数法：满十进一，即10个“一”是1个“十”，10个“十”是1个“百”。

二、简化数的书写

师：上面的活动都是由2个百、9个十和6个一组成，我们要画实物图表示数。桌子上有_____________根小棒。懒羊羊有____________个球赛纪念币。我们班的义卖款有____________元。你对这几句话的书写有什么看法？

（学生认为，画实物图很直观，但也麻烦。）

师：5000年前古代埃及人就发明了“十进制象形计数法”，用 表示“百”，用 表示“十”，用 表示“一”。2个百、9个十和6个一组成的数就可以统一表示成：

______________________________。

我们的桌子上有_______________根小棒。

懒羊羊有___________个球赛纪念币。

我们班的义卖款有______________________元。

请同学们说一说古埃及发明的“十进制象形计数法”的优缺点。

（学生得出共识：古埃及“十进制象形计数法”的可取之处是采用先进的十进制。但是，古埃及数字写起来很麻烦，符号很多。）

【设计意图】“十进制象形计数法”用不同的符号代表不同的计数单位“个、十、百、千……”，人们只用有限的几个符号就能表示一个较大的数。这样教学展现了数学符号思想演变的脉络，而且增强了学生对数学符号的感受性。“简洁”和“优化”是数学和数学家的一贯追求，并已上升为一种共同精神，成为数学文化的重要品格之一，“十进制象形计数法”是人类的一种创造，因而是可以质疑、可以被改造的。

三、优化数的表示

师：2000多年前，中国古代发明了一种更加方便计数的工具——算筹。在算筹计数法中，以纵横两种排列方式表示单位数目。表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空。这种计数法就是现代的“十进制位值计数法”。

（教师演示算筹的使用方法。）

“算筹”放在不同的数位上，就表示不同单位的数。在个位上放一个__________表示6个“一”，在十位上放__________________表示9个“十”，在百位上放一个_________表示2个“百”。用中国算筹计数法将“2个百、9个十和6个一组成的数”表示如下。

单独采用纵式或横式表示多位数，会产生“二义性”。如：单独用纵式表示23时，有可能被看成5，也可能被看成32，数位与数位之间就可能无法分清。使学生切实理解为什么要用纵横交错的方式，体会数学的严谨性。

用算筹计算32+35的过程中，使用“对位相加”，让学生体会到算筹计数比古代埃及的“十进制象形计数法”方便。

师：算筹是世界上最早使用“十进位值制计数法”的，1000多年以后其他国家才开始使用“十进位值制计数法”。位值制的表示形式简洁，而且方便运算，形成了很多口诀和法则。可以说算筹是计数历史上的一个创造、一个奇迹。马克思在《数学手稿》一书中称十进位值制计数法为“最妙的发明之一”。

算筹难以固定，所以中国古人想到了用珠子代替竹子，穿在细棒上，固定在木框上，古代的“算筹”逐渐演变成了“算盘”。明代数学家吴敬所著的《九章算术比类算法大全》中，已正式有了“算盘”这一名称。算盘的发明可与中国古代四大发明相媲美。它不仅是计数工具，也是当时最先进的计算工具。用算盘进行计算叫做“珠算”，在计算过程中，形成了很多实用的珠算口诀。

我国第一颗原子弹的研制需要进行大量的计算，当时我国还没有计算机，连电子计算器都没有，靠的就是算盘。（播放电影《横穿出世》的片段，展现算盘高手聚集在一起日夜计算的壮观场面。）这些算盘高手不仅能够迅速地计算，还要有严谨、认真、一丝不苟的工作态度。

这个计数方法由繁到简的演变过程中，使学生受到“求真、求简、求优”精神的熏陶。

【设计意图】算筹计数法中的每个“数字”不仅有自身的值，还有一个位置，这种计数法使得人们可以用有限个符号表示一个任意大的数，在人类文化发展史上有伟大意义，通过介绍“算筹计数法”，弘扬古代中国数学的辉煌成就。中国人靠算盘完成了研制原子弹过程中的量计算，分毫不差，说明算盘不仅在古代，而且在近代是世界最先进的计算工具之一，进行一次很好的爱国主义教育，同时培养学生一丝不苟、严谨认真的科学精神，体现数学学科独特的育人价值。

四、现代计数形式

师：中国古代的筹算和算盘是当时最先进的计数方法，也是最先进的计算工具。1000多年后，印度人发明了数学符号和“十进位值”体系，印度数字和印度计数法既简单又方便。大约公元700年前后，阿拉伯人征服了旁遮普地区，他们吃惊地发现被征服地区的数学比他们先进，阿拉伯的学者很愿意学习这些先进知识，乐于采用这种计数方法。后来，阿拉伯人把这种数字传入西班牙。公元10世纪，又传到欧洲其他国家，公元15世纪，欧洲人普遍采用“阿拉伯数字”。那时的“阿拉伯数字”的形状与现代的不完全相同，许多数学家花费了大量心血去美化，最终演变为现代的1、2、3、4、5、6、7、8、9、0的书写方式。

提问：算筹和阿拉伯数字，你更喜欢哪一种计数方式？为什么？

学生讨论分析得出结论：阿拉伯数字用的符号个数少，只有10个符号：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。而算筹纵式符号9个，横式符号9个，及表示“无”的“空位”，一共要用19个符号。用阿拉伯数字写数，看起来比算筹写数美观，也容易书写。

【设计意图】反思为什么我国古代数学家发明的“算筹计数法”没能成为现代计数方法，流傳甚广的是“阿拉伯数字”，激励学生养成解决问题后再进一步“美化”和“简化”的良好习惯和思维品质。

数的认识过程，是人类探索数学领域的具体表现，从5000多年以前的古埃及的十进制象形计数法，到2000多年前中国古代的十进制位值计数法（算筹计数法），再到现代十进位值计数法（阿拉伯数字表示法），这种对数学的原味解读，让学生感受到数学知识的成长性、建构性，对学生无疑是一次思维的历练与智慧的启迪。“简洁”和“优化”是数学和数学家的一贯追求，追求“更简”“更美”已上升为一种数学精神，激励学生养成解决问题后进一步的“优化”“简化”“美化”等良好习惯，培养致善精神。

【参考文献】

[1]蒋晓云.文化视角下的小学数学课例研究[J].广西教育，2018（1）.

基金项目：2020年度广西基础教育改革发展研究中心课题“基于核心素养的数学‘致善精神的培养策略研究”（课题编号：GSJJB202005）的研究成果。

【作者简介】李织兰（1967— ），女，汉族，广西百色人，硕士研究生学历，桂林师范高等专科学校副教授，主要从事数学教育和教育管理工作研究;蒋晓云（1963— ），本文通讯作者，男，汉族，广西桂林市人，大学本科学历，桂林师范高等专科学校教授，主要从事数学教育和基础教育研究;秦云霞（2000— ），女，汉族，广西灵川人，大学专科学历，桂林师范高等专科学校小学教育专业在校全科师范生。

（责编 杨 春）