张惠珍

摘  要：数学思想方法是数学的灵魂及数学素养的重要内涵，其中转化思想是最常见的一种思想方法，具体表现为数学的某一形式向另一形式转变，如化曲为直、化新为旧、化繁为简等。在课堂教学中，教师要适当渗透转化思想，引导学生将陌生、复杂的数学问题向熟悉、简单的知识领域转化，从而发散学生思维、提升学生的数学素养。

关键词：转化;化曲为直;化新为旧;化繁为简

一、化曲为直

（一）探究圆的面积计算公式

圆是学生第一次正式接触的由曲线围成的平面图形，首先，在“估一估圆的面积”活动中，教师可通过圆的面积与圆内接正方形以及圆外切正方形面积的比较，让学生估计出圆面积的大小范围，不仅渗透了正多边形逼近圆的方法，也使学生初步体会到“化曲为直”的思想;其次教师可通过教具及课件的双重演示，将圆剪一剪，拼一拼，得到一个近似的平行四边形或长方形的图形，引导学生观察发现拼成的长方形和原来圆之间的关系，即长方形的长相当于圆周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径，从而利用已学的平行四边形或长方形的面积公式推导出圆的面积计算公式，这个过程集中体现了“化曲为直”的转化思想。

（二）探究圆柱的侧面积计算公式

在探究圆柱的表面积计算方法时，学生已经理解了表面积的意义，它是由两个相同的底面和一个侧面构成，学生在上学期已经掌握了圆的面积计算，因此课堂只要突破圆柱侧面的计算方法就可以了。圆柱的侧面是一个曲面， 如何计算它的面积呢？通过讨论，学生可从上学期圆的面积计算公式推导过程中得到启发，初步认识到要将曲面转化为学过的平面图形。教师应及时结合课件组织学生动手操作，把一个圆柱形纸盒沿一条高剪开，观察侧面的展开图，得到一个长方形或正方形;接着讨论侧面展开图的长和宽与这个圆柱有什么关系，学生很快得出长方形的长相当于圆柱底面的周长，长方形的宽相当于圆柱的高，然后教师进一步引导学生将侧面（曲面）的面积转化为长方形（平面图形）的面积来计算，从而利用长方形的面积公式推导出圆柱侧面积的计算公式，这种教学过程也是利用了“化曲为直”的数学思想。

二、化新为旧

（一）解决“比”的问题

“比”在数学中是一个重要的概念，笔者学生理解比的意义往往比较困难，教学中，笔者密切联系学生已有的生活经验，引导学生利用比的意义将两个量的比转化为两个量之间的分数关系或倍数关系。如课本第56页练一练第2题：“农药和水的质量比是1 ∶ 150，现有3千克农药，需要加多少千克的水？”笔者在教学中紧扣比的意义，引导学生从两个方面理解，一是水是农药的150倍，即将比转化为倍数关系来解题，学生很快就列出算式：150×3=450（千克）;二是引导学生利用比和分数的关系将两者的比转化为农药占水的，从而转化为学生熟悉的分数应用题，从而轻松列出算式：3÷=450（千克）。

对于“已知两个量的比及已知它们的和，求两个量或其中一个量是多少？”这类按比例分配的应用题，笔者在教学中也是灵活将两个量的和转化为单位“1”的量，通过画图分析出两个量各自的分率，然后运用分数的意义分别算出两个量的多少;也可以将比转化为分数，先求出平均每份是多少，再求对应几份是多少，即运用“归一法”解决此类比的问题。例如：“一种铜银合金中铜与银的重量比是9 ∶ 4，156克铜银合金中含有多少克银？”可以将已知条件“铜与银的重量比9 ∶ 4”转化为“银占铜银合金的”，接着用解分数应用题的步骤列出算式：156×=48克;或者是“铜与银的重量比9 ∶ 4”转化为铜与银的份数各占9份和4份，总份数为：9+4=13，平均每份重量：156÷13=12克，银有这样的4份，重量为：12×4=48克。这些转化其实都是将抽象的比转化为学生熟悉的分数应用题或除法知识，对刚学习比的知识的学生来说，特别容易理解。

（二）解决圆柱体积的计算方法

在教学圆柱体积的计算之前，学生已经初步理解了体积的意义，掌握了长方体和正方体的体积计算方法。教学中教师可以通过复习长方体和正方体的体积计算公式“体积=底面积×高”，引导学生支用类比的思想猜想出圆柱的体积也可以用“底面积×高”来计算，但这只是一种猜想，课堂上还要进一步验证。因此，接下来的教学中就要运用数学的转化思想，将圆柱通过“切一切、拼一拼”转化为之前学过的长方体，然后引导学生观察并讨论拼成的长方体和原来圆柱之间的关系。学生通过课件或实物演示不难发现长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，从而利用熟悉的长方体的体积计算公式推导出圆柱的体积计算公式。

（三）解决圆锥的体积计算方法

同理，探究圆锥的体积计算方法也可以继续运用类比转化思想，教师可再一次引导学生经历“类比猜想—验证说明”的探索过程，也就是在学生掌握了圆柱体积计算方法的基础上，引导其猜想圆锥体积可能是与它等底等高的圆柱体积的几分之一，通过组织学生小组实验，从而发现圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的，利用学生已学的圆柱体积公式推导出圆锥的体积计算方法。这正是“化新为旧”数学思想的具体运用。

三、化繁为简，解决“相遇”问题

在“快乐课堂”中有一道题：“甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，经过6时相遇。相遇时乙车行了240千米，如果甲、乙两车的速度比是7 ∶ 8，那么A、B两地相距多少千米？”大多数学生碰到这类行程问题，一般先计算出乙车的速度，运用转化思想将两车的速度比转化为“甲车的速度占乙车速度的”，再利用分数的知识算出甲车的速度，最后用两车的速度和乘以相遇时间求出全长。即：

（1）240÷6=40（千米/时）;

（2）40×=35（千米/时）;

（3）（40+35）×6=450（千米）。

这种方法无疑是正确的，解题时直接从速度比入手，但步骤比较烦琐，用到的数量关系也比较复杂;教学中可以首先肯定学生的这种做法，然后通过画图引导学生认识到当两车所用时间相等时，两车路程的比等于两车速度比，分析过程如下：

甲路程 ∶ 乙路程=（甲速度×时间） ∶ （乙速度×时间）（前项和后项同时除以时间）=甲速度 ∶ 乙速度=7 ∶ 8

这样，两车速度比被转化为两车的路程比，有的学生用“甲路程占乙路程的”分率句，算出甲路程为240 ×=210千米，全长为240+210=450千米;有的学生更简便，画图直接分析出“乙路程：全程=8 ∶ 15”，进一步转化为“乙路程占全长的”，然后利用该分率句列出240÷=450（千米），这两种方法包含了两次转化：一是将速度比转化为路程比，二是将比的问题转化为分数应用题，这种转化使学生的解题过程更清晰、步骤更简便。

四、结语

总之，数学教学中要有意识地培养学生的转化思想，教师在备课过程中就要注重教材新、旧知识之间的联系，充分考虑学生已有的学习经验及学生习惯，充分利用线段图的直观教学效果，让学生理解转化算理，通过提前渗透、循序渐进地培养學生分析问题、解决数学问题的能力，同时也提高学生数学学习效率，提升学生的数感、符号感等数学核心素养。

（责任编辑：邹宇铭）

参考文献：

[1]任晶. 渗透转化思想，让数学课堂更有魅力[J]. 内蒙古教育，2016（35）：82.

[2]邓旭东. 核心素养视角下小学数学教学优化的探讨[J]. 新课程，2021（26）：40.

[3]曹荣荣. 找准知识形成基点 培养合情推理能力[J]. 教师，2018（18）：48-49.