朱磊

[摘  要] 猜测在学生数学学习中发挥着重要的作用，认识到猜测的价值，可以发掘猜测在数学概念、规律以及问题解决中的作用. 猜测的应用需要关注教学细节，同时应作为数学教师的研究对象.

[关键词] 初中数学;猜测;应用研究

猜测，猜度、揣测之意，指凭某线索推断、猜度. 初中数学教学常常需要猜测，但与其他教学要素相比，猜测又不是以非常明显的形式存在着，因此其更多的需要渗透，需要潜移默化. 在初中数学教学中建立猜测这一教学线索，并将之应用到具体的数学知识教学中，有什么价值呢？应当遵循什么样的途径呢？又有哪些注意点呢？对于这些问题，笔者分别进行了思考，同时基于教学实践，进行了总结与分析，下面分别对这三点进行阐述.

初中生在数学学习过程中进行猜测的价值

猜测自然是学生在数学学习过程中进行的猜测. 根据猜测的定义，学生在学习过程中的猜测肯定是基于某些线索来进行的. 从这个角度来讲，猜测具有建构主义学习理论中“主动建构”的价值，只是由于这个时候的建构比较粗糙，因而并不像有效的建构过程那样能够迅速地生成准确的结论;但这个环节的价值不可忽视，因为猜测意味着学生在学习之初将新旧知识进行相互作用，对知识生成的方向做出了初步的判断，对知识生成的结果进行了猜测. 对于学生的数学学习来说，这是思维基于经验与问题交织后的“土壤”（隐喻着学习基础）上的萌芽.

虽说猜测在结果上不具有高度精确性，但由于其是学生在问题驱动之下根据自身直觉进行的一种思维行为，因此其反映着学生在数学学习中的直觉思维水平，对教师判断学生的认知基础有重要的参考价值. 反过来，这种直觉思维水平也需要教师着力培养，因为在这个环节猜测得越准，教学的效益就越高. 这里可以先通过一个简单的例子来说明.

教学“平方根”这一内容时，教师在引入平方根的时候常常会设置一个情境，以让学生认识到平方根实际上就是已知一个正数的平方而去求這个正数的问题. 那么在学生有了这个认识之后再去提供“算术平方根”的概念，学生心中会有什么样的想法呢？这里涉及对算术平方根的概念的理解. 根据笔者的调查与梳理，学生常常会出现至少两种想法：一种是直接内化概念，这类学生基础通常较好，有了新的数学概念，就会从定义角度去理解并内化;另一种则是揣摩概念——为什么叫平方根？为什么叫算术平方根？基于这样的问题，他们会去猜测：已知正数的平方去求这个正数，这就是在寻找这个平方的根（大脑中常常会有植物的根茎表象）;至于为什么加入“算术”的概念，则可能是因为这是一个算术运算，可能在计算的过程中要遵守一些规则……

应当认识到后一类学生这种思维的价值：对数学概念（包括规律或问题解决中的其他猜测思维）的猜测意味着对概念的理解已经开始，意味着学生大脑中已有的概念已经在猜测的作用之下被提取出来，这些前概念能够发挥多大的作用，决定着猜测的结果的准确程度. 而实际上教师在掌握了学生猜测的思维逻辑之后，就可以更多地依靠学生的这些思维活动来进一步明确教学方向.

初中数学教学中渗透猜测的实际应用例析

下面从数学概念、规律与问题解决的教学角度，谈谈猜测在数学教学中的应用，以及此过程中教师作用发挥的机制.

在数学概念教学中，猜测主要存在于对概念的理解. 上面所举的“平方根”例子已对其进行了初步说明. 关于教师在学生猜测过程中应当发挥的作用，笔者以为，关键是以下两点.

一是教师要通过问题的提出，让学生将他们的猜测依据做一个说明. 如教师提出的问题可以是“你是怎么理解这个概念的”“你在理解这个概念的时候想到了什么”……这些问题的提出，往往可以让教师准确地把握学生猜测背后的思维依据，从而为学生理解数学概念校准方向. 如对“平方根”概念的理解，有些学生的猜测思路是不准确的，他们认为“平方根就是去平方一个数的根”，其认为“平方”是一种计算方式，这显然是对此前所学的平方概念理解得不透彻. 在这里，教师可以从“正数——正数的平方”“正数的平方——正数”两个维度引导学生进行比较，这样就可以很好地校正猜测思维的错误，同时让学生厘清此前模糊的认识.

二是要充分激活学生的原有概念，让他们的猜测更具准确性. 虽然猜测更多的是依靠直觉思维去加工原有概念，但由于原有概念未必能及时、全面地出现，因此一定程度上需要教师做一些铺垫工作.

比如在“平方根”的概念建构中，教师在创设情境的时候可以多花点时间，让学生认识到其中的平方与平方根的存在. 如给出25 dm2的正方形画布，让学生求其边长. 教师在学生算出之后进行多次变式——变换画布的面积，让学生形成良好的根据平方求正数值的直觉，然后提供一个反例：如果这块画布不是一个正方形，而是一个长方形，那刚才的运算规则还适用吗？学生稍作思考便可发现“不可以”，这实际上是从反面强化了平方根的特征，从而将学生对平方根的认识向正确方向引导，这就意味着其后的猜测准确度会更高.

在数学规律的教学中，猜测所发挥的作用更多的是对规律的理解. 教学经验表明，对于有些规律的理解，绝大多数的学生是顺利的，而有些规律尤其是一些约定俗成的规律，理解起来往往就有一些困难，而这些困难的直接表现，就是学生的猜测空间很大，猜测结果多元. 教师在此过程中发挥作用的关键则在于让学生的猜测结果进行充分比较，进而得出对数学规律的共同的、准确的认识.

例如，“0的算术平方根是0”在教材中是以“规定”的形式出现的，初中生会下意识地思考：为什么做这样的规定？按理说在教学中可以忽视这个环节，告诉学生这就是规定，不需要想太多，但这样的教学不能化解学生的疑惑，反而有可能在学生的思维中形成一个障碍，影响学生对这个规律的理解. 实际上，规定的背后存在着规律，让学生猜测也未必找不到对这个规律的理解.

于是笔者让学生自己去猜：你觉得这样规定的理由是什么？有学生认为：这样的规定没有必要，原本就是0×0=0. 立即就有学生提出反驳：0乘任何一个数，结果都是0. 于是更多学生发现了问题：难怪要做规定呢，原来0不像其他正数一样可以由唯一的两个相同的数相乘得到. 接着又有学生提出：为什么不让0的算术平方根变成0和别的任何一个正数呢？有人反驳：如果这样的话就乱套了，而且不好计算啊！这时第一个学生理直气壮地说：我的说法是正确的，因为一个正数的算术平方根只有一个值，0不是正数，所以要另外规定，更重要的是，如果用0和其他数作为0的算术平方根，那不就乱套了吗……纵观学生的这些猜测，粗看有些杂乱，细析则发现每一个回答的背后都是学生依据一定的线索在判断、推理，而“真理”也往往在这种猜测、碰撞中得到明确：为了让平方根包含的对象更完整，又由于0的特殊性，所以必须加以规定. 尽管这样的理解在严格的数学体系中并不准确，但在此时的学习中，对于学生的数学理解而言，已经是一个重要的补充了. 毫无疑问，对于学生的数学学习来说，这样的猜测是有意义的.

问题解决是初中数学教学中综合运用知识的重要过程，问题解决的最大困惑往往在于第一步，即判断解题方向. 尤其是数学证明题，这个时候需要猜测的高度参与. 笔者以为，在培养学生基础能力的时候，充分让学生猜测，然后判断每种猜测可能走多远，是帮学生积累解题经验的重要途径.

例如，如图1，四边形ABCO是正方形，连接正方形ABCO的对角线AC，OB交于点Q，点F为线段BC上一点，以OF为直角边向上构造等腰直角三角形EOF，且∠EOF=90°，EF交AC于点P. 若PQ=1，求CF的长.

对于这道题解题方向的确立，学生的猜测是多元的，有学生猜测通过证全等的方式进行，但感觉PQ=1用不上;有学生猜测可能要用勾股定理去解，但无法知晓另两条边的长度;还有学生猜测是不是应该借助直角坐标系中的某些坐标关系去求解……种种猜测不一而足，教师引导学生分析每一个猜测，并在逐步走入“死胡同”之后，“倒逼”学生寻找新思路，从而开拓学生的思维，丰富学生的解题经验. 如果直接讲授，则肯定没有这种效果.

初中数学教学中渗透猜测需要注意的若干细节

在初中数学教学中应用猜测，也有一些注意点：一，重视猜测但不能过度阐释猜测，通常只需要抓住有效的猜测进行分析即可;二，引导学生进行有据猜测，不能无缘由地瞎猜，尽管我们不拒绝直觉，但其与胡思乱想还是有区别的;三，猜测需要教师的点评才能发挥其促进学生数学思考的作用，即面对学生的猜测，教师要做点评.

注意到上述三点，猜测就能发挥其正面作用，从而让学生依靠原有认知基础，活跃自身思维，进而为数学概念、规律的理解与问题解决提供铺垫性作用. 当然，此过程中必须认识到的是，猜测同时也应当是数学教学的目标，学生的猜测能力越强，那数学理解与问题解决往往更高效，而这也是笔者研究猜测的初衷.