何萍 章才岔

[摘  要] 对核心素养的研究应落实到数学学习评价领域，本文以2017年温州中考试题为例，进行基于核心素养的数学测评研究，探究数学核心素养的教学与评价，并给出建议.

[关键词] 数学核心素养;数学测评;四基

问题提出

数学核心素养蕴含在知识的发生、发展和应用过程中，又超越具体的知识和技能. 《义务教育数学课程标准》（2011版）（以下简称《课标》）提出的10个核心概念对应着普通高中数学课程标准六大数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析. 2014年3月，中国教育部《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》中指出，落实立德树人首要环节是明确研究制定学生发展核心素养体系和学业质量标准，明确学生完成不同学段、不同年级、不同学科学习内容后应该达到的程度要求. 这一要求直指需要扩展视野，将对核心素养的研究落实到数学学习评价领域.

浙江省教育厅教研室颁发《2017年浙江省初中毕业升学考试说明·数学》明确中考命题指导思想：严格遵循《课标》重视对“四基”的考查，注重通性通法;适当考查应用意识和用数学观点分析、解决问题的能力，适当考查在具体情境中从数学角度发现和提出问题的能力;重视对学习过程的评价，设计有层次的问题考查学生的不同水平，考查通过合情推理探索数学结论、运用演绎推理证明结论的能力等. 以2017年温州中考试题为例，进行基于核心素养的数学测评研究，探究数学核心素养教学与评价.

对试卷结構与数学核心素养的

考查

1. 试卷整体结构

2017 年温州市初中数学毕业升学考试试题结构合理，知识覆盖面广，重点突出，难易比例适当. 试卷在保持温州原有中考风格的基础上，设计了更能体现新课程理念、更为灵活的试题. 在考查学生对核心知识理解、掌握程度的同时，进一步考查学生将知识迁移到类似情境的能力，从而检测学生已有的和潜在的后续学习能力，体现考基础、考能力、考素质的学业评价目标测试. 对促进《课标》课程目标的落实、教师教学理念的转变、教师教学行为的改善、学生学习方式的创新、衔接高中学习具有积极的导向作用.

2017年温州中考试题满分150分，考试时间120分钟，共设置24题. 其中客观题16个，共70分，主观题8个，共80分. 整套试题阅读量较大，图文并茂，难度严格按照学业考试说明的7 ∶ 2 ∶ 1的要求进行编制，着重考查了基础知识和学生解决实际问题的能力. 同时，该卷对学生探究能力、逻辑推理能力的考查做了很好的尝试.

2. 数学核心素养的考查

该套试题充分考查数学素养和数学能力，将“四基”“四能”融为一体，结合数学思想、数学思维能力与数学核心素养等方面的要求设计了多样、灵活的设问形式，全面检测考生的数学知识和迁移运用能力，尤其是客观题第10题、第16题和主观试题对数学核心素养考查突出. 主要试题的内容领域、“四基”指向和考查的核心素养见表1.

典型试题分析

根据喻平的核心素养评价框架，把6个核心素养划分为3个水平，如表2.

下面选择典型考题对数学核心素养的考查进行解读. 由于数学核心素养是综合地体现在每一个问题中，一个题目很难独立考查某个数学核心素养，这里关注试题中较为侧重的数学核心素养并进行讨论.

1. 数学抽象素养的考查

第8题：我们知道方程x²+2x-3=0的解是x₁=1，x₂=-3，现给出另一个方程（2x+3）²+2（2x+3）-3=0，它的解是（）

A.x₁=1，x₂=3               B. x₁=1，x₂=-3

C.x₁=-1，x₂=3             D. x₁=-1，x₂=-3

数学素养考查方式分析：数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养. 题目以方程为背景，通过抽象、概括认识两条方程的本质及联系，考查整体思想，考查一元二次方程的概念、方程的解等知识. 本题考查数学抽象水平A₂，同时考查数学运算水平C₁ .

学生作答分析：数学抽象能力薄弱的学生，需要将第二条方程先化简再求值，容易造成计算错误，且浪费时间.

2. 逻辑推理素养的考查

第21题：如图1，在△ ABC 中， AC=BC ，∠ ACB =90°，⊙O（圆心O在△ABC内部）经过B ，C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F，延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D. （1）求证：四边形CDEF是平行四边形;（2）若BC =3，tan∠DEF=2，求BG的值.

数学素养考查方式分析：逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程. 本题改编自八年级下册教材作业题，考查圆的性质、直线与圆相切、平行四边形的判定、锐角三角函数、等腰直角三角形的性质等，反映演绎推理与合情推理的关系，试题结合逻辑推理和数学运算考查，学生需要对图形进行分解、提炼、联想、重构，有效解决问题. 考查逻辑推理水平R₂.

学生作答分析：逻辑推理素养弱的学生表现为找不到辅助线的添法，说明由条件与基本图形性质推理相关结论的能力、联想相关知识作辅助线构造出相关的“基本图形”的合情推理能力、问题分析的推理能力都有待提高.

数学运算薄弱的学生会出现勾股定理应用错误，或三角函数计算错误等.

3. 数学建模素养的考查

第16题：小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图2）. 完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点 A 、出水口 B 和落水点 C 恰好在同一直线上，点 A 到出水管 BD 的距离为12 cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图 3 所示，现用高 10.2 cm 的圆柱形水杯去接水，若水流所在抛物线经过点 D 和杯子上底面中心 E ，则点 E到洗手盆内侧的距离 EH为______cm.

数学素养考查方式分析：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程. 本题数学建模体现在将生活实例抽象成数学图形，从图形与图形关系、数量与数量关系中建立数学模型，考查二次函数、方程、直角三角形、平行线、三角函数等知识. 考查数学建模M₃，同时考查数学抽象A₂、逻辑推理R₂、数学运算C₂.

学生作答分析：学生缺少建模经验，首先表现为自然语言无法抽象为图形语言，建模出现困难，具体步骤不知如何实施，从图形信息中找不到解题切入点. 其他常见的错误还有：坐标系位置建立不妥当，用近似数求解，审题不仔细，只求得点 E 到水管的距离，计算素养表现不强. 在数学建模核心素养的形成过程中，需要加强积累运用数学知识求解、验证、完善模型的经验. 数学建模往往伴随着数学抽象，所以也要重视数学抽象核心素养的形成，积累从具体到抽象的活动经验.

4. 直观想象素养的考查

数学素养考查方式分析：直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程. 该题属于动态探究综合题，考查了三角形、圆、方程、三角函数、对称性等初中数学核心知识，蕴含着方程思想、分类讨论思想、转化思想、对称变换思想等重要的数学思想方法. 通过动点 P 的位置变化，带动圆及整个图形的相对运动，运动中隐含着不变性，巧妙地将圆与三角形有机结合在一起，同时又通过引入另一动点 Q，增加了题目的探究性. 在整个变化过程中更巧妙之处在于始终有AB等于AC，MD平行AP，而学生在解题的全过程中需抓住变化过程中的不变关系. 考查直观想象水平I₃，还考查逻辑推理R₃、数学运算C₃等数学素养.

学生作答分析：直观想象素养较强的学生能根据文字条件描述画出运动变化中的图形，找到变化中的不变性质，从而找到解决此题的突破口. 这既是解决动态幾何问题的核心，也是函数研究的主要性质. 而此素养较弱的学生会将此图看成静态图形，难以在具体情境和图形之间进行转化，从而造成思维障碍. 具体表现为不会画图（即失去了直观的工具），分类遗漏，几何图形性质选择不恰当致使推理错误. 学生综合运用数学知识的能力有待提高，直观想象、逻辑推理、运算素养现状不尽人意.

5. 数学运算素养的考查

数学素养考查方式分析：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程. 本题模型来自八年级下册第5章的作业题，辅以坐标系和二次函数为背景，将一次函数与平行线、三角形有机结合在一起，考查了二次函数的相关性质、轴对称变换、三角形三边关系、一次函数表达式等知识，体现了对数学运算素养、直观想象、逻辑推理素养的综合考查. 考查数学运算水平C₂.

在解决BD最小值时，确定D点位置错误：认为BD⊥CD，认为CD=BD，认为D是OB中点，认为当四边形CPOD是正方形时，BD为最小值，认为D落在（8，0）时BD有最小值，这些错误均反映出学生的直观想象素养和逻辑推理素养有待提高.

6. 数据分析素养的考查

第 19 题：为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方”“魅力数独”“数学故事”“趣题巧解”四门选修课（每位学生必须且只选其中一门）. （1）学校对七年级部分学生进行选课调查，得到如图6所示的统计图. 根据该统计图，请估计该校七年级 480名学生选“数学故事”的人数;（2）学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的A ，B ，C三个班，小聪、小慧都选择了“数学故事”，已知小聪不在 A 班，求他和小慧被分到同一个班的概率. （要求列表或画树状图）

数学素养考查方式分析：数据分析是指针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成知识的过程. 主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型对信息进行分析、推断，获得结论. 本题以学生身边的选课问题为背景设计问题，综合了平均数、概率等基本知识，通过对选课的调查，让学生估计总体的情况，体现了运用数据观念分析解决实际问题的命题意图. 考生要认真阅读题目，在理解题意的基础上通过计算平均数，用样本平均数估计总体平均数，通过列表或画树状图求得答案. 考查数据分析水平D₂.

结论与建议

根据上述研究，得到以下结论：（1）加强核心知识与数学核心素养的考查是中考命题的主导方向;（2）创新情境下的知识迁移运用能力的考查，是数学核心素养评价的必要途径;（3）逻辑推理和数学运算是问题解决的必备技能，落实在数学核心素养发展的过程中;（4）直观想象是数学核心素养的重要表现，要在数学思维活动的过程中有意识地进行渗透和培养.

为数学核心素养教学与评价现状提供如下建议：（1）研读《标准》和《说明》，重视和加强四基教学;（2）注重以生为本，立足能力培养和素养提升;（3）加强“过程性”教学，关注知识发生发展的过程;（4）理解数学，重视数学思想方法的归纳、总结和运用;（5）开展基于核心素养的命题研究，实现甄别性评价向发展性评价的转变.