摘  要：做好数学教学，特别是帮助学生学会思考，十分重要的两个环节是：（1）教师的“言传身教”，用数学思维的分析带动具体数学知识的教学;（2）解题教学，由单纯的“就题论题”上升到“就题论法”和“就题论道”.

关键词：数学方法论;数学教学;就题论法;就题论道

相对于其他论题而言，“数学方法论指导下的数学教学”应是大多数中学数学教师都较为熟悉的. 由于我国著名数学家徐利治先生的倡导，“数学方法论”早在20世纪80年代就已经走进了中学数学教师的视野，并已成为很多师范院校数学专业的一门专业课程. 更重要的是，中国的数学方法论研究从一开始就表现出了密切联系实际数学教学这样一个特点，即应当用数学思考的分析带动具体数学知识（包括数学基础知识与基本技能，下同）的教学，从而将数学课真正“教懂，教活，教深”，即向学生展现“活生生的”数学研究工作，而不是“死的”数学知识，并能帮助他们很好地理解相关内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背. 使学生不仅能够掌握具体的数学知识，也能够很好地领会内在的思想方法.

笔者还有这样一个具体建议：数学思维方法的学习，不应求全，而应求用. 从教学的角度来看，这就是指，无论是就“数学方法论”而言还是就“数学思维研究”而言，都不应成为借题发挥、纸上谈兵的空洞学问，而应对实际教学工作发挥促进作用. 只有这样，我们才能使学生真切地感受到数学思维的力量，从而真正起到“言传身教”的作用.

总之，这方面工作最重要的一条原则是我们不应将数学思维的学习与具体数学知识的教学绝对割裂开来，而应十分重视用数学思维的分析带动具体数学知识的教学，即应当特别重视数学思维在具体数学知识教学过程中的渗透与指导;我们还应通过这一途径帮助学生逐步学会数学地思考，特别是使得相应的思维过程或方法对学生而言真正成为“可以理解的、可以学到手的和加以推广应用的”.

当然，上面的论述并不排斥这样一点：必要时我们也应适当进行数学思维的专门教学. 就现实而言，这也可被看成“解题教学”应当发挥的一个重要作用. 特别是相对于单纯的“就题论题”，我们应当进一步上升到“就题论法”和“就题论道”.

应当强调的是，这里所说的“就题论道”有这样一个含义，即我们应由单纯强调“帮助学生学会数学地思考”过渡到“通过数学学会思考”. 相对于“用数学思考的分析带动具体数学知识的教学”，后者可以说体现了一个更高的要求. 对此我们将在下一篇文章中围绕“数学深度教学”做出具体论述.

最后，强调“解题教学”也反映了这样一个认识：无论是就数学思维而言或是就一般性思维策略的学习而言，主要目标都是“能用”“会用”. 也正因如此，除去教师的直接示范外，我们应特别重视实践中的学习. 特别是应当清楚地认识“问题解决”在这方面的重要作用. 例如，主要是在这样的意义上，著名数学家哈尔莫斯指出，学习数学的唯一方法是做数学. 另外，正如曹广福教授所指出的，就数学教育而论，思想当然是最重要的，但思想需要载体，领会一种思想更需要载体，否则思想就变成了虚无缥缈、不着边际的夸夸其谈……掌握一种思想更要亲自实践，看别人演示与自己实操是完全不同的，有时你听起来似乎明白的东西，真正做起来就一筹莫展了，这就是缺少实践的结果.

当然，又如先前的文章中已指出的，即使我们仅仅着眼于学生解决问题能力的提升，也不可能单纯凭借大量练习实现，而是主要依靠主体的自觉总结、反思与再认识，包括教师的必要指导. 显然，从这一角度我们可以更好地理解切实做好“解题教学”的重要性. 特别是我们应超越“就题论题”，从而上升到“就题论法”和“就题论道”，包括对于“总结、反思与再认识”的特别重视. 例如，从后一角度我们显然可以更好地理解为什么应将“题后反思”看成“解题教学”十分重要的一环.

再者，“问题解决”当然又不应被看成“数学活动”（“数学实践”）的唯一形式，而事实上这也就直接关系到了“问题解决”这一曾在世界范围内广泛实施的数学教育改革运动的局限性. 特别是我们是否应将“问题解决”看成学校数学教学的主要形式. 显然，就目前的论题而言，这也更清楚地表明了切实做好以下工作的重要性，即我们不仅应当用数学思维的分析带动具体数学知识的教学，也应通过教学帮助学生逐步学会学习，即由主要是在教师指导下进行学习逐步过渡到自主学习（后者正是“数学深度教学”的又一重要含义）.

由于“数学方法论指导下的数学教学”在我国已提倡多年，就这方面的具体工作而言，在此仅仅强调这样几点.

（1）正确处理数学思维与具体数学知识学习之间的关系，即应当用数学思维的分析带动具体数学知识的教学，而不应将两者绝对地割裂开来，或是始终停留于具体数学知识的学习中，却未能上升到“思维与方法”这一更高层次，更不用说如何帮助学生逐步养成相应的“情感、态度与价值观”.

（2）从同一角度我们也可更好地认识“问题引领”对于数学教学的特殊重要性，包括这样一点：除去“知识的问题化”以外，后者还有更广泛的含义与作用.

例如，正如波利亚所指出的，可能任何类型的思维守则都在于掌握和恰当地运用一系列合适的提问. 正因如此，我们就可将若干定型的问题（和建议）看成“数学启发法”的核心. 这就是指只要问的是地方、是时候，就能起到“思想指南”的指导，可对人们克服面临的困难提供一定的启示或指明努力的方向.

进而，正如前面所提及的，除去“解题策略”的学习外，也直接关系到学生“元认知”水平的提升，以及我们又如何能够通过提出新的問题实现认识的发展与深化.

当然，这也应被看成“认识的发展与深化”的又一重要含义，即我们应由单纯的“问题解决”过渡到“就题论法”和“就题论道”，包括我们如何能够切实提升学生在这方面的自觉性.

例如，在笔者看来，我们就应从上述角度更好地理解这样一个论述：教师应是学习和问题解决的专家，教师的工作就是通过向学生问他们应当问自己的问题来对学习和问题解决进行指导和建模.

（3）相对于真实的数学发展历史而言，相关工作主要又应被看成“数学史的方法论重建”，也就是我们如何能够通过自己的探索，使得相应的发明创造对学生而言真正成为十分自然和可以理解的.

显然，上述工作可被看成教学工作创造性质的重要体现. 特别是我们应围绕自己的教学工作积极开展教学研究. 例如，如果我们在阅读教材或实际教学的过程中发现某一内容的处理（包括教材中采取的途径、别人设计的教案，以及自己先前使用过的教学设计）不是特别自然，这或许就可看成用思维方法的分析改进教学的一个很好的切入点，即我们应当通过自己的“再创造”，使之真正成为“可以理解的、可以学到手的和可以推广应用的”.

以下就是这方面的一个具体实例，这也是笔者多年前的一个亲身经历.

案例1：三角形内角平分线的性质的证明.

所谓“三角形内角平分线的性质”是指这样一个定理：三角形中任何一个角的平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例. 教材中关于这一定理的证明并不困难（如图1），但这恰恰又是我们在从事这一内容的教学时应当深入思考的一个问题：相关的证明思路是如何发现的？我们如何能够使得这一过程对学生而言真正成为十分自然的？因为，不可否认的是，CE这一辅助线的添加是很难想到的，从而就很像波利亚所说的“从帽子中掏出来的兔子”.

围绕上述问题，笔者进行了长期思考，但始终未能得出令人满意的答案，直至有一天突然产生了这样一个想法：既然无法自然而然地引出所说的辅助线，那么我们是否可以不添加任何辅助线直接证明这一定理呢？又由于笔者在此前刚刚接触到了所谓的“面积法”，即主要通过对图形面积的分析求解几何问题. 这样，以下证明思路的产生就十分自然了.

如图2，作为面积法的直接应用，我们在此集中考查△ABD与△ADC的面积比. 由于这两个三角形具有同一条高，因此它们的面积比显然就等于BD∶DC;另外，由于AD是角平分线，所以AD上的任意一点到角两边的距离相等. 由此我们可以立即推出：△ABD的面积∶△ADC的面积 = （AB·DE）∶（AC·DF） = AB∶AC. 这样，相关的定理（BD∶DC = AB∶AC）就得到了证明.

当然，作为教学活动，我们又不应满足于这一问题的解决，而应引导学生从更一般的角度进行分析、思考，即应当由知识和技能的学习上升到思维的层面. 例如，通过上述解题活动我们显然可以帮助学生很好地理解“面积法”的具体含义，包括通过这一方法与传统方法的比较更好地认识它们各自的优点与局限性，从而就可以在应用上实现更大的自觉性.

感兴趣的读者还可对以下问题做出自己的思考和探究.

案例2：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明.

这是八年级的一项学习内容. 由于学生在先前已经学习了“三角形的全等”和“等腰三角形的性质”，因此面对以下证明在理解上就不会有太大困难.

如图3，在Rt△ABC中，∠ACB是直角. 在∠ACB内作∠BCD = ∠B，CD与AB相交于点D，可知DB = DC. 依据等角的余角相等，可得∠ACD = ∠A. 于是就有DA = DC. 从而就有DA = DB = DC. 由于CD是斜边AB上的中线，且CD =[12]（DA +

DB） =[12]AB. 这样，原来的定理就得到了证明.

现在的问题是：在证明的过程中我们为什么不直接作出斜边AB上的中线CD，而非要把它看成按照“∠BCD = ∠B”这一要求作的另一条线呢？尽管这样做后证明不会有任何困难，但从思维的角度来看毕竟很不自然！

笔者的希望是：能否为上述定理找出一个更加自然的证明？

以下再针对我们应当如何做好“解题教学”提出若干具体建议.

（1）这方面工作应当坚持这样一个立场，即对于“题海战术”的明确反对. 但是，我们应如何看待“问题的适当分类与辨识”这样一项工作？由于后者在各方面都有重要应用，我们对此就应持肯定的态度;但在做出这一肯定的同时，我们又应注意防止题型的“泛化”，以及对于“机械记忆与简单模仿”的不恰当强调，即应当注意题型选择的“少而精”，并应通过“变式理论”的应用与抽象分析很好地实现“讲一题，通一类，得一法”，包括引导学生从多个不同角度进行分析和思考，包括必要的比较、变化与更高层次的综合等.

进而，从宏观的角度来看，我们应认真思考是否应在所有的知识点上都要学生做很多作业，乃至各种各样的难题？恰恰相反，我们应当通过认真的学习和研究很好地弄清楚什么是其中的重点和难点，切实做好作业的整体设计，包括以此作为审题，特别是对于来自各种渠道的题目做出选择并重新加以组织的主要标准，即真正做好“分清主次，突出重点，以主带次”.

（2）集中于“解题策略”是国内“解题研究”的一个重要特点. 现实中存在解题策略的“细化”这样一个普遍倾向，乃至对于“解题活动算法化、程序化”的不恰当强调. 笔者认为，我们应注意纠正这样一个倾向. 因为，如果缺乏自觉性的话，我们就很可能在不知不觉中重新回到“题海”与“术林”之中;再者，这事实上也可被看成国外的相关研究给予我们的一个重要启示，即上述方向的努力并不能有效提高人们的解题能力. 相信读者由以下关于思维活动性质的分析即可很好地认识到这样一点.

由于数学问题的多样性和复杂性，更由于思维活动的非逻辑性，即不仅可能表现为纯粹的灵感或顿悟，并必然具有一定的或然性与个体性. 因此，尽管我们应当充分肯定“题型分析”的重要性，努力提升学生的辨识能力，很好地掌握相应的“解法”，也应高度重视解题策略与数学思想方法的学习，从而在遇到困难时就可获得一定的启示. 但是，单靠这些显然不足以保证解题活动的成功. 恰恰相反，我们应由具体的数学思想方法和解题策略转向一般性思维策略与思维品质的提升.

后者事实上也就是“就题论道”的主要含义. 对此，我们也将在下一篇文章中做出进一步的分析和论述.

（3）努力提升学生在这方面的自觉性，包括：我们为什么应当积极从事“解题活动”？这方面的具体实践应特别重视哪些方面或问题？等等. 例如，正如前面所提及的，我们不仅应当帮助学生很好地认识“题后反思”的重要性，也应努力提升自身的“元认知”水平. 因为，后者不仅是决定人们解题活动能否成功的一个重要因素，更是我们在这方面是否具有较大自觉性的一个重要表现.

还应提及的是，这正是中国“解题研究”的又一重要特色，即对思维活动辩证性质的突出强调. 例如，所谓的以退求进、正难则反;分合并用、进退互化、正反相辅、动静转换、数形结合、以美启真…… 显然，这事实上十分有益于提升我们在解题活动中的自觉性.

（4）坚持教学的开放性. 这不仅可以被看成充分尊重学生个体特征的一个必然結论，也可被看成辩证思维的又一重要表现. 后者是指我们既应明确肯定教学工作的规范性质，努力帮助学生实现思维的必要优化，也应很好地处理规范性与开放性之间的关系. 因为，归根结底地说，数学教育的基本目标应是促进学生思维的发展，而不是将此硬性纳入任一固定的框架. 这更应被看成发明创造的真谛所在——“以正合，以奇胜”.

最后，应当再次提及的是，无论就“数学方法论指导下的数学教学”而言，或是就“解题教学”而言，“深度教学”都体现了更高的要求. 这正是下一篇文章的直接论题.

参考文献：

[1]郑毓信. 数学方法论[M]. 南宁：广西教育出版社，1991.

[2]曹广福. 中学数学教育中的若干问题[J]. 教育研究与评论，2020（2）：9-15.

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[5]戴再平. 数学习题理论[M]. 上海：上海教育出版社，1991.

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