仲海峰

摘要：通过对“角的认识”教学中“什么是角？”“角的大小与什么有关？”“怎样表示平角？”等几个常见疑难问题的思考，获得感悟：数学概念教学要自觉淡化对外在形式、复杂技巧等细枝末节的关注，集中精力揭示、把握概念的本质。由此可以发现“风景”在对错之外，理解错误有时也叫“暂时性正确”，认识符号中蕴含着数学意象。

关键词：数学概念教学;数学本质;角的认识

小学阶段研究的平面图形中，角是最为特殊的一个：不具有封闭性。在判断角的大小的时候，学生常常会将其和长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等封闭图形的大小混为一类，产生认知偏差。本文通过对苏教版小学数学教材“角的认识”教学中几个常见疑难问题的思考，谈谈笔者对数学概念教学的感悟。

一、什么是角？——“风景”在对错之外

认识角，除了认识它的形状，还要理解它的内涵，这是比较角的大小的基础。为了帮助学生理解角的内涵，不少教师在教学中都会设计“让学生指一指物体上的角在哪儿”的活动。比如——

师（课件出示三角尺图片）这是我们常用的三角尺，你能指出三角尺上的角在哪儿吗？

（一位学生走到屏幕前，用手指指着三角尺的顶端。）

师（轻轻按下手中遥控笔的按钮，学生手指之处出现一个小圆点，如图1）你说的是这儿吗？

（学生点头。教师微笑，再次按下手中的遥控笔，课件上的三角尺渐渐隐去，只留下一个小圆点。学生一看，慌忙将指在小圆点上的手指收回。）

师同学们，他刚才指的是角吗？

生不是。他指的是角的顶点。

师那角在哪儿呢？谁再来指一指？

（另一位学生走到屏幕前，沿着三角尺的边“描”出角的轮廓，轨迹如图2 中的箭头所示。）

师她指得对吗？

（部分学生点头，大部分学生没有表示。）

师（同步演示，如图3）指角时，我们一般从角的顶点出发，先引出一条线，再引出另一条线。

这里，学生“指角”时，指着角的顶端，错了吗？课后访谈表明：学生指的实际上不是教师所想的角的顶点，而是“角前端尖尖的那一小部分”。这样指角指出了角最重要的部分，值得肯定。学生沿着角的边“一笔画”描出角的样子呢？这样指角清楚、明了地表示出了角的样子，也值得表扬。教师从顶点出发引出两条边呢？这样指角表示出了角的两条边无限延长的特点，渗透了四年级要学习的“角的边是射线”的知识，同样值得提倡。此外，还可以借助手指、铅笔等，从一条边出发旋转到另一条边，将角的大小具体形象地表达出来;像《几何原本》那样将角定义为“两条线之间的位置关系”。

在小学阶段，表达角的概念的方式很多，不同的方式可以帮助学生从不同的角度出发、在不同的程度上理解“两条边张开的大小”这一角的本质，都不应是“标准姿势”。教学时，教师不要过多地关注学生指角的对错，而应引导学生关注各种表达的可取之处，在比较和分析中逐步领悟角的本质。也就是说，“风景”在对错之外。

二、角的大小与什么有关？——错误有时也叫“暂时性正确”

理解角的大小与两条边张开的大小有关，是“角的认识”教学的重难點之一。为了突破重点、分解难点，不少教师在教学中都会让学生操作活动角，从中体会：将两边张开，角变大;将两边合拢，角变小。但是到了课堂练习环节，比较图4中两个角的大小时，依旧会有很多学生认为∠2>∠1。他们怎么也想不通：∠2看上去明显比∠1大，为什么老师却说它们相等呢？面对学生的困惑，教师一般都会不厌其烦地提醒：角的大小只与角两条边张开的大小有关，而与边的长短无关。

这里，“角的大小与边的长短无关”实际上存在着科学性错误：角的边是射线，射线怎么会有长短呢？但是，很多教师还是坚持用这句话来帮助学生理解角的大小。他们的理由很简单：找不到更能如此直接、有力地纠正学生亲眼所见的“∠2>∠1”这个错觉的方法。

对此，笔者的观点是：这个世界上，不是非对即错，还有一种所谓的错误也叫“暂时性正确”。二年级学生没有学过射线，在他们的眼里，角的边仅仅是直直的线段。和他们强调角的边无限长，超出了他们的认知范畴。对他们而言，“角的大小与边的长短无关”这句话可以视为“暂时性正确”。

对于“暂时性正确”，很多人一下子不容易接受。其实，这样的例子在小学阶段还有很多。如：（）+7<10，（）里可以填。二年级学生在横线上填“2、1、0”，显然没有填全，还可以填小数、负数等;但已经是他们能得到的所有结果了，不仅正确，甚至还要加“☆”。

当然，“退”是为了更好地“进”。不要求二年级学生理解“角的边是射线”，目的是让他们集中精力理解“两条边张开的大小”这一角的本质。等到四年级学生学习了射线，教师应该帮助他们进一步理解：角的两条边虽然有的画得长，有的画得短，但是它们的相对位置（张开的大小）可能是一样的。我们将两条边的相对位置（张开的大小）一样的角称为同类角。同类角长短不一的边可以用射线来抽象概括，最终用同一个图形来表示。

三、怎样表示平角？——符号中蕴含着数学意象

小学阶段认识图形，一个重要的学习目标是能够识图、画图。因此，学生认识了角这一图形后，不少教师都会组织学生进行辨析。比如——

（教师出示练习：图5中的图形表示的是角吗？学生解决时，对第二个图形是不是表示角，颇有争议。）

师第二个图形表示角吗？

生不是角。

生是一个特殊的角。

师意见不一致了。我们讲道理，以理服人。

生直线上有一个小圆点，这个小圆点是角的顶点，因此，第二个图形表示一个平角。

生我认为第二个图形表示的就是直线，因为直线是由无数个点组成的，那个小圆点原来就在直线上。

生我觉得第二个图形表示的是两条射线，这两条射线有一个公共的端点，而且它们在一条直线上。

……

在直线上点一个小圆点是否表示平角？貌似无聊的争论却蕴藏着基本的数学道理：数学是借助符号来表达数量关系和空间形式的，每一个符号中都蕴含着一种数学意象。例如：用直直的线表示两端无限延伸的直线;在直直的线一端点上小圆点，表示这条线从小圆点处出发，向远处延伸，也就是射线;在直直的线另一端也点上小圆点，表示这条线到此为止，不可以再延长了，也就是线段。因此，在直直的线中间点上小圆点，这个小圆点不是装饰，它表达的含义是两条射线的公共端点（如图6所示）。

既然在直线上点一个小圆点不表示平角，那么，怎样表示平角呢？这个问题需要回到角的本质来回答。角的本质是“两条边张开的大小”。我们可以借助小圆弧这一符号，形象、清楚地表示“角两条边张开的大小”。因此，平角的表示如图7所示。

对此，教师在教学中可以基于活动角的操作，引导学生思考：可以用什么符号表示角“两条边张开的大小”？得出用小圆弧这一数学符号来抽象表示。

综上可见，“角的初步认识”教学中几个疑难问题的解决其实都指向角的本质。李邦河院士告诫我们：数学“玩”的不是技巧，而是概念。数学概念教学要自觉淡化对外在形式、复杂技巧等细枝末节的关注，集中精力揭示、把握概念的本质。由此可以发现“风景”在对错之外，理解错误有时是“暂时性正确”，认识符号中蕴含着数学意象。