李习凡 朱胜强

摘要：“球的表面积和体积公式”的教学通常采用直接告知结论（至少是直接提示方法）的方式。实际上，这一内容的教学能够采用引导探究结论（推导公式）的方式：引导学生基于类比思想，根据推导圆的周长公式的方法，想到“水平等角或等距切割成若干层‘小圆片，近似看作圆台或圆柱求侧面积或体积和，再考察极限逼近准确值”的方法;运用数学软件，处理推导过程中具体而复杂的计算。

关键词：类比思想;数学软件;探究教学;球的表面和体积公式

“球的表面积和体积公式”是高中数学的传统内容。这一内容在《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中的学习要求是：“知道球的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题。”它从属于“几何与代数”主线，并处于这一主线中知识逻辑链条的末端，不会对其他内容产生明显的影响。因此，从高中数学课程内容选择的基础性（发展性）原则来看，这一内容的教学通常不受重视。

就学生推导球的表面积和体积公式而言，虽类比推导圆的面积公式的方法，采用“指向球心分割成若干个‘小锥体，近似看作棱锥求体积和，再考察极限逼近准确值”的方法，不难建立球的表面积和体积的关系，由此实现球的表面积和体积公式的互推，但是在球的表面积和体积公式都不知道的情况下，想到合适的方法推出其中任何一个都比较困难。因此，从高中数学课程内容选择的可行性原则来看，这一内容的教学通常采用直接告知结论（至少是直接提示方法）的方式。……