张丽杰 莫宗赵 周莹

摘 要 深度学习是新世纪创新型人才的技能指向之一，已在教育领域引起了广泛的关注。教师在进行均值不等式几何证法的相关教学时，应基于深度学习理念，结合数学学科特点，整合梯形、圆形的性质，利用动态数学教学软件Hawgent，以问题驱动为脉络，通过小组合作，引导学生掌握不同情境下均值不等式的证明方法。

关键词 高中数学 深度学习 动点路径 皓骏技术

21世纪以来，随着经济和信息技术的不断发展，社会对高质量人才的需求日益增加，时代要求学生具有深度学习的能力。2010 年我国颁布的《国家中长期教育改革和发展规划纲要 （2010—2020年）》明确提出，“要注意培养学生的自主学习能力，注重培养学生学习的主动性、独立性、创造力和问题解决能力。”[1]深度学习作为实现这一目标的重要途径之一，引起了国内学者们的广泛重视，也在教育教学领域中为教师的“教”和学生的“学”提供了新的思路。

一、理论基础

深度学习是指学习者对已有知识加工、整合、迁移和运用，形成新知识，建构新的知识体系，用“较高的沉浸性和投入度”[2]37积极地参与学习知识的过程。深度学习以前概念为基础不断增生新的知识生长点，旨在提高学生的高阶思维和问题解决能力。

在“互联网+”时代，学习方式发生了极大的变化，“学习的时空、场域、过程、方式、路径以及自主学习的目标定位、内容范畴、学习行为的内外顯表征等，越来越个性化甚至‘碎片化。”[3]毋庸置疑，深度学习概念的提出给我国传统教学模式带来了挑战，传统教学已经不能满足学生的认知向更深层次转化的需要。在这一背景下，“多媒体画面语言学指导下的新媒体技术可以根据不同的情境需求，满足以学生为中心的行动、建构和生成。”[4]22“教育软件作为学习科学视域下深度学习的中心，计算机的处理信息的功能和化无疑为可视的作用对深度学习提供了有力有效的支持。”[5]

鉴于此，教师在教学中应基于深度学习理念，结合数学学科领域，整合梯形、圆形的性质，充分利用Hawgent（皓骏）数学动态技术软件，通过问题驱动等，分析如何实现深度教学，达到提升学生深度学习能力的目的。

二、设计思路

我国学者刘哲雨等人提取了面向深度学习的教与学活动中的核心要素，并基于核心要素构建了深度学习框架[4]23，“杜威认为，知识的学习要经历知识的还原与下沉、经验与探究、反思与上浮的‘U型学习过程”[6]，以促使学生完成思维的碰撞和深度思考。在此基础上，笔者将该理念与数学学科领域相结合，设置了数学教学的五个环节：明确目标、创设情境（建立背景）、解决问题、变式训练和反思评价（如图1所示） 。

第一，明确目标。目标是行为的终点，明确学习目标才能提高学习效率。

第二，创设问题情境（背景）。教师需要将问题背景引入数学课堂，还原知识发生的情境，以直接经验拉近数学知识与学生的距离，“赋予知识发生背景和使用情境，将知识进行还原，也即知识的‘下沉，让学生与知识原初相遇，建立起知识与经验的关联。”[2]37

第三，解决问题。通过问题驱动，引起学生深度思考，剖析问题本质，再以小组合作协商的方式分享结果。小组合作是进行深度学习的重要方式之一。学生通过小组合作，能够在共享智慧成果的过程中擦出思维的火花。而加入Hawgent动态技术元素，可以将抽象难懂的问题通过动态演示变得直观，通过情境的变换促进知识的拓展、迁移。

第四，变式训练。深度学习强调知识的迁移与应用。教师应适时变换情境或情境中的条件、背景、结论，让学生再次解决问题。

第五，反思评价。教师应在活动的前、中、后使用元认知监测整个教学过程，及时总结、反思教学活动。

三、以均值不等式几何证法为例的教学环节

（一）明确目标，计划教学

通过本节课的学习，在知识上，学生对均值不等式有更深入的了解，明晰不同情境中其代表的几何意义。在能力上，首先，学生通过动手操作，观察变量之间的关系，提高动手操作能力和观察能力;其次，学生在不断变换的场景中提高灵活性、适应性和迁移能力，通过问题驱动，提升思考能力;最后，学生在反思、升华本节课内容的过程中形成新认知，提升反思能力。

（二）创设情境，引人入胜

图2是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的。颜色的明暗使它看上去像个风车，代表中国人民热情好客。教师让学生带着问题思考：你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？（参考人教版A版必修5）

[问题1] 该会标当中含有哪些几何图形？你能否运用数学语言将其刻画出来？

设计意图：教师用真实的生活情境引课，拉近数学课堂与数学知识之间的距离，进而引导学生从中抽象出数学图形，并运用数学语言将其在纸上画出（如图3所示）。

[问题2] 仔细观察四个直角三角形的面积与正方形的面积有什么关系？

设计意图：教师引导学生通过两者面积关系得出均值不等式的平方形式，并得出开平方后的基本不等式。

（三）合作学习，解决问题

[问题3] 在其他几何图形中应该怎样证明均值不等式？如在圆形中。

设计意图：教师变换证明情境，利用不同图形的性质寻找不同的证明均值不等式的方法。引导学生通过小组合作，并结合Hawgent技术，尝试如何利用圆的性质探究出其中的数量关系。

[生组1] 老师，我们令AG = a，BG = b，利用圆的半径找出了[ab]与[a+b2]，并且通过变换F点的位置来观察[ab]与[a+b2]的关系，结果发现，无论怎样变换F点，[ab]都小于等于[a+b2]（如图4所示）。

[生组2] 我们组还改变了a+b的大小，结果与第一小组的结论一致（如图5所示）。

[师] 非常好，大家已经能够从这种动态展示中发现，在以圆为背景的证明中，无论怎样改变条件，始终都有[ab≤a+b2]。

[问题4] 在什么情况下该关系式中的等号成立？a和b有哪些限制？

（在提问之后，学生又展开了讨论。）

（四）变换情境，深入探究

教师让学生带着问题思考：如果再次变换场景，将其放置在梯形中又会有怎样的发现呢？采用的数学方法参考涂荣豹和季素月的《数学课程与教学论新编》一书[7]。

已知正数a、b，它们的算术平均值为[a+b2]，几何平均值为[ab]，调和平均值为[2aba+b]，平方平均值为[a2+b22]（如图6所示）。

[问题5] 小组合作，动手操作并观察。你能找出几条用a、b表示的线段？它们和每个平均值之间有什么关系？

设计意图：利用梯形的性质引导学生尽可能多地找出符合条件的线段，发现线段与平均值之间的关系，为下一步的猜想、推理奠定基础。

[生组3] 梯形的中位线是算术平均值[a+b2]，就是线段GH的长（如图7所示）。

[生组4] 我们小组画出了过梯形对角线交点的平行于底的线（即交位线），根据交位线定理可以得到交位线的长度就是调和平均值[2aba+b]，即线段JK的长（如图8所示）。

[师] 这两组同学找到了中位线和交位线，发现了它们与算数平均值、调和平均值之间的关系。同学们再想一想，还有哪些特殊的位置可以尝试一下呢？

[生组5] 在前两组同学的基础上，我们小组画出了线段JG和KH的中点，绘制线段LM，结果发现线段LM的长度和几何平均值[ab]的大小一样（如图9所示）。

大家为第五小组同学的“妙想”鼓掌。

[师] 看来同学们的思路已经打开了。依据前面小组的思路，请大家再展开你们想象的翅膀，看看怎样作线能够找到平方平均值，多次尝试一下吧。

[生组6] 能不能以点J为中点做点L（点G）关于线段JK对称的平行线被梯形截得的线段？

（学生经过尝试发现并不能得出结论，所以需要继续寻找其他方法。）

[生组7] 老师，按照第六小组的思路，我们小组以点G为中点，做点L关于线段GH对称的平行线被梯形所截得的线段OP，发现线段OP的长与平方平均值[a2+b22]大致一样（可能是软件精确位数所致）（如图10所示）。

[师] 经过大家的共同努力，我们将四个平均数全部表示了出来，由图可以直观地看出四者之间的关系，即[2aba+b≤ab≤a+b2≤a2+b22]。

[问题6] 在不等式[2aba+b≤ab≤a+b2≤a2+b22]中，什么情况下等号成立？

（学生再次移动梯形使得四线合一，发现只有当a = b时等号才成立。）

需要注意的是，这节课教师带领学生从直观上发现了各个平均值之间的关系，并没有进行严格的演绎推理。在接下来的课程中，教师需要引导学生进行证明，以保证数学的严谨性。

（五）反思评价，总结提升

“反思是联结深度学习各个阶段的桥梁，高阶思维的发展与深度学习层次的提高，都需要反思作为内生动力，反思的形式可以是多种多样的，例如，可视化反思、有声思维反思、自我反思等。”[4]23

1.学生角度。学生通过小组合作的形式共同探讨，以小组代表总结发言的形式进行结果反馈和反思。

[生组8] 这節课我们学会了证明均值不等式的三种几何方法。三种方法分别是：在正方形中利用面积关系进行比较;在圆形中利用半径与弦的关系得出基本不等式;在梯形中利用线段长度找出四个均值不等式之间的关系。

[生组9] 补充：在第八小组总结的基础上，我们小组还发现了当a=b时，梯形中的图形就变成了平行四边形;继续移动点D至点C后，发现这是一个三角形，且线段GH为三角形的中位线;当点D无限接近点C时，点J、K、I、D、C五点重合，调和平均值[2aba+b]变为0，但是，此时线段OP的值与[a2+b22]并不完全相等。

[生组10] 通过这节课的学习和动手操作，我们惊奇地发现，利用不同的图形就可以把难懂的不等式这么直观地反映出来，原来图形之间是相互联系的。在以后的学习过程中，我们要更加注意知识之间的互通性了。

[师] 各位同学已经总结得非常全面了。第八小组说出了本节课的学习内容，第九组探索了图形之间的变换，第十组感悟到了数学知识的联系性。请同学们再思考一下，我们是如何得出不等式成立的。首先，我们从图形中发现了数学关系，然后，我们利用图形比较数的大小。这难道不是代数与几何的巧妙结合吗？通过图形让符号变得可度量化，以形比较数，以数衡量形，实现数形结合。其实，证明均值不等式的几何方法远不止这些。有兴趣的同学在课下可以继续讨论交流，如利用两个圆形该如何证明。这节课到这里就结束了。下节课我将带领同学们用严格的数学推理来证明均值不等式的成立，体会数学的“一丝不苟”。

2.教师角度。在知识与技能方面，步骤1设定了本节课的学习目标，学生要掌握均值不等式的相关知识，教师要引导学生不断思考、判断和分析，以提升其解决数学问题的能力;步骤2以数学文化史内容引入，教师引导学生发现均值不等式的基本形式;步骤3强调小组间的交流与合作，通过小组合作与探究，共同发现均值不等式的形成过程;步骤4以变式形式深化学生对知识的理解和辨析;步骤5进行总结、评价与反思，以提升整个教学过程，巩固新知。

在过程与方法方面，把握重点，突破难点;在重点掌握方面，学生学习了均值;在难点突破方面，让学生感受均值不等式的多种几何证明方法，明晰不等式各要素之间的动态比较过程，并利用Hawgent动态信息技术解决这一难点，将难以想象的发生过程直观化。

在情感态度与价值观方面，提升能力，训练思维。本节课从著名的赵爽弦图入手，根据不等式和几何图形的基本知识，通过动态变换，将图形几何意义与代数建立联系，降低学生对数学知识的恐惧感;通过动手操作启迪学生，在潜移默化中提升其观察能力，不断进行追问，以促进学生进行深度思考;以小组合作探究方式帮助学生及时调整自己的认知，了解他人想法，既增强了学生知识迁移能力，又促进了学生数学思维的培养。

四、感悟与启示

（一）依托“六个问题、五个步骤”，明晰教学设计环节

整个过程，通过分析解决问题，让学生经过不断的思考，体会知识从实践中来还要到实践中去，以“明确目标、创设情境、解决问题、变式拓展和反思评价”的脉络把控知识的学习历程，步骤与步骤之间环环相扣。

（二）注重“动手操作，实验探究”，积累探究性活动经验

通过动手操作，深化学习过程，拓展学生思路。数学实验作为一种新的数学学习方式，推动着教与学方式的变革。学生主动地参与到数学学习活动中来，在实践、交流、反思中使数学学习从表层走向“深层”[4]23。

（三）促进深度学习，形成数学思维培养的基本模式

深度学习不仅体现在知识的迁移与运用，还要通过数学教学，让学生养成深度学习、深度思考的习惯。只有这样，才能使学生形成批判性思维，富有创造精神，才能提升其反思能力，培养高阶思维，使其在解决数学问题的过程中思维更加开阔，联想更加丰富。深度学习也是一个不断联结的过程，在原有知识基础上不断增长“知识树”，最终形成严密的知识网络。教师应引导学生将“前概念”（几何图形的基本性质、不等式等）和“科学概念”（均值不等式等）之间建立关联，发现、找出并验证猜想，以实现深度学习下能力的发展，形成培养数学思维的基本模式。另外，深度学习的有效教学离不开信息技术的支持。利用数学动态技术软件可以把不容易想象的内容以更直观的方式展现出来，有助于提高学生的动手操作能力和发现与探索能力，促進知识之间的迁移与运用。

[参 考 文 献]

[1]国家中长期教育改革和发展规划纲要工作小组办公室.国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）[EB/OL].（2010-07-29）[2020-03-27].http：//www.gov.cn/jrzg/2010-07/29/content_1667143.htm.

[2]张晓娟，吕立杰.指向深度学习的课堂学习共同体建构[J].基础教育，2018，15（3）.

[3]张绍军，陈名英.近十五年我国“深度学习”研究述评[J].教育测量与评价，2019（11）：38-39.

[4]刘哲雨，任辉，刘拓，等.深度学习核心要素的提取、论证和运用[J].天津师范大学学报（基础教育版），2018，19（3）.

[5]张益玮.基于学习科学视域下的深度学习实施研究[J].海外文摘·学术，2019（4）：67.

[6]郭元祥.论深度教学：源起、基础与理念[J].教育研究与实验，2017（3）：7.

[7]涂荣豹，季素月.数学课程与教学论新编[M].南京：江苏教育出版社，2007：352-354.

（责任编辑：赵晓梅）