周伟萍

【摘要】数学学习的抽象有经验抽象和自反抽象.经验抽象可以是以真实的事物或现象作为直接的原型，由一类物质对象抽象出共同的特征;自反抽象是以已经建构的数学对象为原型的间接抽象，在更高层次上去对已有的东西进行重新构建.Ed Dubinsky提出的APOS理论是对皮亚杰的数学学习“自反抽象”的拓展.在经过操作、过程、对象、图式等阶段后完成数学对象、数学思维的建构和提升.以APOS理论为指引，对毕业班复习阶段性学业评价训练的压轴题“理”图形表征，“论”模型本质.

【关键词一】APOS理论;初中数学;压轴题

一、复习阶段性学业评价训练原题呈现

如图1，矩形OABC的顶点O是平面直角坐标系的原点，点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（8，4），将矩形OABC绕点A顺时针旋转得到矩形ADEF，D，E，F分别与B，C，O对应，EF的延长线恰好经过点C，AF与BC相交于点Q.

（1）求证：△ACQ是等腰三角形.

（2）求点D的坐标.

（3）如图2，动点M从点A出发在折线A-F-C上运动（不与A，C重合），经过的路程为x，过点M作AO的垂线交AC于点N，记线段MN在运动过程中扫过的面积为S，求S关于x的函数关系式.

图1  图2

二、梳理原题图形表征

本题为全卷压轴题，分值为10分，考查：旋转的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的性质、矩形和三角形的面积等知识，用到了函数思想、方程思想、分类讨论思想、转化思想等.本题考查的是几何综合类型，也有代数的综合味道在里面，是一道符合课程标准的好题.

图形中包含着坐标、一般三角形、直角三角形……