赵云平

【摘要】不定方程是數论中一个古老的分支，也是数论中一个重要的研究课题，它有着悠久的历史与丰富的内容.所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数等的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数.例如，2x+y=5就是一个不定方程，它没有确定的解，它有无数多解.本文从各定理出发，详细探讨了定理的实质，并通过例题加以说明二元一次不定方程有无整数解及求出整数解的过程.

【关键词】不定方程;二元一次不定方程;找解;求解

引 言

所谓二元一次不定方程的一般形式是ax+by=c，其中a，b，c是整数.当然，在求解时x，y也是整数，如果x，y不要求是整数，那么它的解一般都会有无穷多个，除非a和b其中有一个为零，且要求ab≠0，也就是a，b都不是0.注意：这个a，b里边如果有一个是0，那就不是不定方程了;如果a，b都是0，就要求c也是0，这个解就是所有的整数对，所以，研究a，b都不是0的情况.如果ab≠0，对二元一次不定方程解的研究就与研究线性方程组、常微分方程的解法非常类似，如线性方程组ax=b的通解就是ax=0的通解，+ax=b的特解;要求常微分方程ay″+by′+cy=f（x）的解，也是先令f（x）=0，先求出通解，再加上等于f（x）的一个特解.遵照同样的方法，要找到二元一次不定方程所有的解，就是要找ax+by=c的特解和ax+by=0的通解.下面我们先来认识相关定理.

一、二元一次不定方程求解的相关定理

定理1[1]：设二元一次不定方程ax+by=c ① （其中a，b，c是整数，且ab≠0）有一整数解x=x0，y=y0 ;设（a，b）=d，a=a1d，b=b1d，则①的一切解可以表示成

x=x0-b1t，y=y0+a1t. ②

其中t∈Z.

证明：先证②是①的解.由x=x0，y=y0是①式的解，有ax0+by0=c.将……