黄胜怀

[摘  要] 波利亚认为解题就是“问题转换”，把问题转化为一个等价的问题，或把问题化归为一个已解决的问题. 数学解题过程无不蕴含着数学思想，同时也指导着解题活动，训练着思维品质. 文章從斜率、角平分线、相似三角形、平向向量、解三角形等视角，对2018年高考数学全国卷Ⅰ文科第20题进行了解法探究，并分享了一些教学思考.

[关键词] 解析几何;转化;数学思想

[?]真题再现

（2018年高考数学全国卷Ⅰ文科第20题）设抛物线C：y2=2x，点A（2，0），B（-2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点.

（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程;

（2）证明：∠ABM=∠ABN.

试题分析：试题从能力立意到素养导向转变，比往年难度有所降低，充分考查了数形结合、化归与转化的基本思想，体现了逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.第（1）问考查直线与抛物线的位置关系;第（2）问考查抛物线中动态性质的证明，综合考查斜率、角平分线、相似三角形、平向向量、解三角形等知识的应用.

[?]多视角下的解法分析

当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，显然有∠ABM=∠ABN. 为便于解法研究，下列各解法仅研究直线l与x轴不垂直的情形.

1. 斜率视角

2. 角平分线视角

3. 相似三角形视角

4. 平面向量视角

5. 解三角形视角

上述10个解法从与角有关的知识出发，进行广泛的联系，从多个视角展开了解法探究. 不难发现解法1是最佳转化的方式，最直接地将几何的角转化为代数的斜率和为零. 其余9种解法均不同程度地进行几何关系的优化，再转化为代数，深刻地体现了解析几何既……