赖玉枝 徐建新

摘  要：现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响. 在数学教学中，融合信息技术和数学教学，是新课程理念的要求，是信息时代的要求，也是创新教育的要求. 融合的基本原则是要有利于学生认识数学的本质. 通过“用信息技术制作三角函数表”一节课的教学，形成教学实录及反思.

关键词：深度融合;数学教学;教学反思;三角函数表

一、基本情况

1. 授课对象

学生来自本校高一年级，数学基础较好，具有一定的自学能力和协作探究能力.

2. 教材内容解析

所用教材为人教A版《普通高中教科书·数学（必修）》第一册. 本节课的内容是“用信息技术制作三角函数表”，是安排在和差角的正弦之后的信息技术应用，属于课外兴趣探究课.

新教材提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，在保证笔算训练的前提下，尽可能使用各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的融合，有利于学生对知识规律的探索和发现. 本节课利用信息技术提升学生的数学思维能力，提高学生学习数学的兴趣，为发展学生的数学学科核心素养提供重要的平台.

3. 教学目标解析

（1）重视信息技术的使用，强调知识的发生、发展过程，加深获得合理结论的理解与认识.

（2）了解制作[0°∘]～[90°∘]每隔[1]的三角函数表的可行性，发展学生的数学抽象、逻辑推理等素养.

（3）在信息技术的辅助下，了解简单编程方法及算法思想.

（4）会用和差角公式解决简单的实际问题，能理解从[sin1]出发，经过和差角公式变换，得到[0°∘]～[90°∘]每隔[1]的三角函数值.

（5）教学不是只停留在对特殊角的三角函数值的简单记忆上，而是真实体会非特殊角的三角函数值的生成过程及其存在的意义. 重视“事实价值”，感受数学学科在其他学科领域上的贡献.

4. 教学问题诊断分析

（1）本节课需要学生理解“不断循环”才能得到有效结果，如何建立该“循环”是本节课的一个难点，“循环”的次数限制也是一个难点. 教学中，可以遵循从小到大、从特殊到一般、从具体到抽象的过程进行归纳. 同时，引入信息技术计算初始值，检验对后续操作解决问题的可行性，从而突破难点.

（2）本节课运用和差角公式，这是最近发展区的问题. 在面对新问题时，要注意先分析条件，明确要求，再联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行，等等. 同时，教学过程中，教师要重视学生研究解决方案的思维过程的表述，不能只看结果，而不注意过程的准确性和简洁性. 这也是后续培养学生的三角恒等变换能力所不能忽视的.

5. 教学支持条件分析

（1）虽然新教材中已经删去“算法”内容，但是高一学生在信息技术课程中初步学习了编程软件python，会用软件进行简单问题的编程，初步掌握了编程中的算法思想. 因此，学生能够较好地理解本节课内容的程序框图.

（2）在多媒体教室，每人都有一台电脑，利用信息技术可以很好地呈现非特殊角的三角函数值，帮助学生直观感知函数性质，理解算法的基本思想，感受技术在数学发展中的作用.

二、教学过程分析

1. 问题情境导入

引导语：数学文化引入.“对数的发明”一节中介绍了苏格兰数学家纳皮尔曾利用对数制作了[0°∘]～[90°∘]每隔[1]的八位三角函数表，这种方法虽然还不够方便与简洁，但是在当时已经很了不起. 随着信息技术水平的高速发展，我们可以借助信息技术手段制作出更精确的三角函数表. 下面，我们一起研究制作[0°∘]～[90°∘]每隔[1]的三角函数表（以求正弦值为例）的基本思路.

【设计意图】让学生了解数学家纳皮尔仅凭借手工运算得到三角函数表的工作量是巨大的，體会科学家超人的毅力和为科学献身的精神. 明确研究的问题，具体化问题激发学生研究的兴趣，引导学生的思考方向，为本节课的研究做铺垫.

2. 规划研究方案，形成基本思路

问题1：我们所要解决的问题是生成哪些角的三角函数值？

师（追问）：共需要计算多少个值？可以用什么方法？

生2：需要计算[5 400]个值，可以用计算器一个一个算，也可以用老师的手机算.

师：不错！让我们试试看.

教师按学生提供的思路现场借助希沃助手功能，手机传屏演示，用手机的计算器功能计算[sin1，sin2，][sin3，…]的值.

【设计意图】让学生体会此法虽然可行，但是耗时太长，引导学生思考其他方法，为本节课的教学重点指引方向.

问题2：是否有其他方法？观察一下这些角度之间的关系，有什么规律？

生3：按间隔[1]递增，即后面每一个角都可以用前面的角加上[1]得到.

师（追问）：选择什么公式完成计算环节？

生5：两角和的正弦公式.

师：非常好！接下来请大家用数学方法探寻解决问题的路径.

生6给出解法如下.

如此循环.

问题4：如何表示以上计算过程的“重复性”？

【设计意图】设计问题串指明研究方法和方向，引导学生利用两角和的正弦公式解决相应问题. 本环节是重点，让学生用数学方法推理、归纳出解决问题的通性、通法，培养学生严谨的逻辑思维能力. 同时，在探究运算思路的过程中，培养学生的运算能力，发展学生的运算素养.

问题5：学过的信息技术是否能够解决以上问题？

师生活动：回忆在信息技术课中学过的程序框图设计和编程，对于一些问题的解决需要设计出一系列可操作的步骤，只要按照顺序执行这些步骤，就能完成任务. 通常把这种解决问题的思想叫做程序化思想，数学中称为算法思想.

分析可行性的两个特征.

（1）有穷性：算法的指令和步骤的执行次数是有限的，执行时间也是有限的.

（2）确切性：算法的每一个指令或步骤都必须有明确的定义和描述.

结论：根据研究思路，只需给出初始值，就可以按照算法步骤完成所要解决的问题.

3. 跨学科技术融合，得到研究结论

问题6：你能编写一个解决以上问题的算法吗？讨论一下，把算法步骤或程序写出来，说说遇到的困难.

该环节完成的前提是需要引导学生简单复习一下信息课的知识：python软件特殊转换功能说明;循环体只能识别“当型循环”结构，以及特殊的运算符号的使用;计数变量和循环变量的设置;讨论循环变量[n≤5 400]的合理性. 其中，程序框图的内容参阅教材，此处略.

【设计意图】充分利用学科间的有益融合，探究解决问题的可行性，促进学生学科素养的发展，提升他们的实践能力. 在该环节的具体教学中，我们发现信息技术能力较好的学生很快就能完成编程，有部分学生完成比较慢，还有个别学生完成不了. 教师可以让先完成编程的学生现场指导未能很好地完成编程的学生，达到同伴互助、合作交流的目的.

问题7：在编程软件上运行结果，检验对比学过的性质. 例如，正弦函数在区间[0， π2]上的三角函数值的变化情况是否一致？谈谈体会.

生7：信息技术可以快速生成我们想要的计算结果，在问题解决时发挥着重要的作用. 对于该题，在几秒之内即可生成[5 400]个正弦值，我们能够直接看到在区间[0， π2]上正弦值的变化情况.

【设计意图】让学生体会“事实”，直观感受函数值的变化，而不是停留在几个特殊角的三角函数值上被动接受知识.

4. 总结学习过程，分享学后感悟

早期，天文、航海、工程、贸易及军事等快速发展，对大数的运算提出了更高的要求，需要改进数字的计算方法，提高计算速度和准确度. 三角函数在很多学科中都有广泛的应用. 现在，我们可以借助先进的技术来解决. 但不可否认的是，前人在该领域的研究过程中所获得的成果，以及他们付出的超人的毅力和为科学献身的精神是值得我们学习的.

信息技术应用的前提是设计计算机能够识别的程序，这对学习提出更高的要求，我们要在前人研究的基础上，用数学的方法解决问题，用学过的知识设计解决问题的路径，体会先进技术的重要性，从而感受获得结果的成就感，增强学习的内在动力.

【设计意图】体现数学的实际价值，立德树人，培育学生的科学精神和创新意识，提升他们的数学学科核心素养，彰显数学的育人价值.

三、课后教学反思

1. 本节课内容的意义

本节课虽然是课后信息技术探究课，但是无论是新教材还是旧教材都仍然完整保留，說明有着较强的教育教学价值. 它可以引领学生通过所学知识解决问题，通过两角和的正弦，按照同样的原理、方法得到解决该问题的基本路径，体验算法. 在具体教学过程中，教师要让学生自己推理获得. 越是看上去简单的知识，越要让学生亲自去感悟，从中获得思考的体验，这样才能使知识变成技能，真正有效的学习必须经历感知、感悟知识的过程.

本节课的内容安排在和差角公式之后显得非常自然，学生不容易混用公式. 若是学生学习完倍角公式之后再来操作，便会出现求[sin2，sin4]等正弦值时选用了倍角公式，导致计算机无法识别. 当然这一点在学过倍角公式之后可以适当提及，让学生进一步加深对算法的理解.

2. 重视信息技术应用，实现跨学科融合

随着课程改革和高考命题改革的深入推进，跨学科教学必将迎来新的发展.《普通高中数学课程标准（2017年版）》指明，在论及课程内容时，强调数学与生活及其他学科的联系，提升学生运用数学解决实际问题的能力. 与之相呼应，现行新教材中增加了大量的跨学科内容，这需要引起教师的足够重视.

当然，实施跨学科教学，要以合适的内容为载体，分析教材的特点是研究的起点，也是必要的教学准备，教材中含有丰富的教学资源，这也是本节课内容保留的重要原因. 跨学科的素材为数学知识的形成提供相应背景，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质，从而让学生体验数学的工具性、应用性、人文性和科学性. 学科的融合还可以增加数学学习的多样性、趣味性和实用性.

随着学习的深入，教师可以尝试以数学为主导的现象教学，通过师生交流互动，从不同学科的视野分析、思考和解决问题，从而促进各学科知识的融合和学生能力的提高.

3. 重视教学过程设计

数学教学过程的设计必须为学生提供有价值、富有挑战性的数学学习过程，为学生数学思维的发展提供有效的载体，以激发学生数学学习的广泛兴趣，促使学生认识数学在信息化、智能化社会中的重要性，提高学生有效运用数学思想方法和技术处理问题的自信心.

基于数学学科核心素养的教学、设计和实施，必须从完善学习过程、加强实践环节入手，安排动眼观察、动手操作、动脑思考的实践活动，使学生通过自主活动获取理解概念所需的事实.

本节课的教学过程主要以问题串的形式呈现，所提出的问题注重适切性，对学生掌握数学方法、形成研究方向、提升基本技能和领悟基本思想有真正的启发作用. 在实际教学中，教师要让学生动手实践，帮助他们提升参与意识，增强学习的创造性.

总之，高中数学教学以发展学生的数学学科核心素养为导向，创设合适的问题情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质. 提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种形式，激发学生学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯. 注重信息技术与数学课程的深度融合，提高教学的时效性，不断引导学生感悟数学的科学价值和应用价值.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建跃. 基于数学整体性的单元教学设计之教学过程设计[J]. 中小学数学（高中版），2020（9）：封四，64.