张琦 高慧明

摘  要：抛物线“距离和”的最值问题是解析几何中的常见问题，也是难点，往往需要灵活运用数形结合的思想方法才能很好地解决这类问题. 在课堂上讲解这类问题的过程中，学生往往会提出与教师预设的解法“大不相同”的思考方向，此时教师顺势而为，按照学生提供的“新”思路展开探究，通过层层设疑答疑，进行变式教学. 这个过程可以引导学生变换思维角度，培养学生思维的灵活性，发展学生直观想象、逻辑推理等素养.

关键词：抛物线;最值;探究;素养

高三第一轮复习的主要任务是巩固和理解已学的基础知识，掌握和应用已学的基本技能. 此后还需通过数学的基本思想方法将所学知识条理化、系统化，最终做到连点成线，连线成面.

在最近一次“抛物线‘距离和’的最值问题”的复习课中，学生自发地对抛物线中“距离和”的最值问题展开了热烈的讨论，虽然完全打乱了笔者的教学设计流程，但是这个过程中学生展现出来的探究热情，以及发现问题和解决问题的能力，都令人眼前一亮. 下面对教学过程进行简单复现，并对此做出了思考和总结.

一、问题的提出

在以往的教学设计过程中，这类问题讲到这里已经足够——复习了抛物线的知识，强调了转化的方法，体会了数形结合思想. 但这次上课的时候在这里出现了一些“意外”，一位平时成绩不错的学生突然举手，说到：“老师，我觉得您刚刚讲的例题很特殊，要么已知的直线是抛物线的准线，要么已知的点是抛物线的焦点. 我在想，如果是两条一般的直线，这类问题还能解吗？”这位学生的想法出乎笔者的意料，因为笔者并没有按照这个思路进行备课，如果按照该思路展开教学，将面临课堂不可控的“危险”;但是如果不管这位学生的观点，只是要求他“自己课下思考”，那必然极大地伤害了他的积极性. 权衡利弊，笔者决定顺势而为，让学生展开探究，看看到底能够提出什么样的问题.

二、问题的探究

师：这位同学提出了一个非常有价值的问题，如果将我们刚刚研究的问题一般化，那么凭借我们现有的知识，还能解决相应的问题吗？由于老师也没有对这类问题进行准备，那么现在就将改编的任务交给大家. 请同学们改编上述问题，并给出解答.

学生发现可以按照自己的想法来设计问题，积极性大为提升，课堂气氛也逐渐热烈起来. 没过多久，就有学生提出了多个问题. 对这些问题进行归纳、整理，发现可以分为以下四类.

此时，教师对提出问题的学生提出表扬，鼓励所有学生在学习的过程中要积极思考，遇到特殊问题不妨想想一般化的结论;遇到一般的结论，不妨想想特殊化的结果. 同时，也给予解答问题的学生积极的评价，鼓励大家遇到问题不要有畏难情绪，不要禁锢在已有的思维框架中，要敢想敢做、精“画”细算. 至此，笔者不免沾沾自喜，想继续研究下面的问题，但是还是问了一句.

师：上面这个问题我们通过转化的方法已经解决了，同学们还有补充吗？

此时，笔者只好停止了想继续探究下面问题的想法，着手解决眼前这个双绝对值的最值问题.

师：同学们，大家有什么好的方法能够解决这个问题吗？

学生能够从几何和代数两个方面解决这个问题，他们的表现出乎笔者意外，笔者对生1提出了表扬.

之后，开始带领学生一起研究解决类型2. 这个问题乍一看与类型1区别不大. 但是仔细分析，发现好像又有很大不同，因为在该题中没有办法通过抛物线的定义将动点到两直线的距离之和转化为焦点到直线的距离了. 怎么办呢？由于有上面生1的铺垫，很快就有学生提出了可行的办法.

生2的想法犹如落入池塘的一颗石子，激起了朵朵思维的浪花. 有的学生马上接着说，既然不会求两个绝对值和的最值，那就把绝对值去掉啊. 于是提出了以下解法.

当经过教师适当引导、学生积极发言解决上述两个问题以后，学生的探究热情更高了，于是大家都想趁热打铁，把类型3也解决了. 但是经过长时间的思考，大家发现这个问题很难——不管是几何方法还是代数方法好像作用都不大.

生5：老师，我觉得上面那个式子特别像椭圆的标准方程在化简之前的样子，但是我尝试化简，所得的结果特别复杂.

师：事实上，我们也可以通过这种方法对类型4进行研究，但是由于需要对椭圆进行旋转，远远超出了考试的要求，所以不在本节课进行探究，有兴趣的同学可以课下进行进一步研究，之后可以和伙伴们分享.

三、问题的总结

1. 探究、探究活动与数学探究活动

探究可以简单理解为探索研究，也就是通過对一定的事物（课题）进行深入探索、反复研究，进而寻求根源（结果）的过程. 探究活动是在探究思维的指导下，对某事物（课题）开展研究活动，这个研究活动具有一定的方法和程序，能够进行重复操作. 数学探究活动则是在数学学科内部，采用探究活动的方法和程序，对某些特定的数学问题进行研究，这些数学问题可以来自现实问题情境，也可以来自数学问题本身. 经历数学探究活动过程，除了让学生获得学科知识，发展学科核心素养之外，也力争让学生掌握一定的探究学习技能，形成科学研究的态度.

《普通高中数学课程标准（实验）》指出，“数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程”“数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式，有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，初步理解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神.”

《普通高中数学课程标准（2017年版）》除了凝练了数学学科核心素养以外，另一个比较大的变化是给“数学建模活动与数学探究活动”分配了具体的课时. 同时指出，“数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程”，还建议“数学探究活动以课题研究的形式开展. 在必修课程中，要求学生完成其中一个课题的研究”.

“数学探究”或“数学探究活动”只是探究活动的一种形式，一个组成部分. 探究问题的选择上，既可以是来自教材、教师、网络，也可以是学生自主发现的问题. 这些问题既可以是已经解决的，也可以是尚无定论的. 在确定解决问题步骤的时候，教师要起关键的作用，通过教师的因势利导，将超出学生思维最近发展区的问题拉近到最近发展区，帮助学生把主要精力集中在思考问题上，激发他们创造的热情和享受收获的喜悦.

在具体上课的时候，由于只是在某一节课的某一部分开展探究活动，所以教师完全不必拘泥于“课题研究的形式开展”. 但是开展探究活动的基本流程要体现出来. 例如，发现问题以后，要尝试解决问题;解决问题以后，要接受同行（这里是同学）对问题结果的评价，并针对评价进行方法的修正等. 事实上，本节课的探究过程，就很好地体现了这种思想：问题来源于学生，解决问题的思路设计来源于学生，对结果的点评还是来源于学生. 在这个过程中，教师起到了很好的“主导”的作用，但“主体”是学生.

开展探究活动，应该与开展“数学建模”活动有所不同. 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法解决问题，这些问题通常是没有确定结论的;而数学探究活动，问题可以是来自实际问题，也可以是来自数学学科本身，既可以是未曾解决的问题，也可以是已经解决了的问题. 数学建模强调对数学知识的运用，注重整个建模过程对学生素养的提升，并不刻意追求结果的准确性;而数学的探究活动除了要重视知识的应用以外，也重视结果，结果往往也是学生需要掌握的知识.

2. 教学有法、教无定法、贵在得法

所谓教学有法，是指针对不同的学科内容，教学活动有一定的规则、规律、法则和模式，教学过程要目标明确，重点突出，不能偏离;而教无定法，是指教学的时候不能只是机械地模仿，而是要根据不同的知识内容、学生层次和教学资源灵活处理，让课堂富有个性、充满灵性，从而让教学真正变成一门艺术. 为了达成上述目标，教师将各种教学工具、技术、方法等恰当地应用于具体的问题情境，努力找到最适合的课堂教学方法，这就是贵在得法.

数学课也是如此. 一节常规的数学课教学目标要定位准确，教学过程设计要重点突出，师生互动活动要能充分展现学生的思维火花，在这个活动经验积累的过程中，让学生学到了知识，掌握了技能，形成了思想方法，提升了核心素养. 但是一节课很难保证一定是按照教师设计的思路顺利实施下去. 例如，本节课是由学生岔开话题，被动地展开了“探究活动”，這个时候就要求教师要有足够的智慧和定力，不要怕学生有“奇怪”的想法，而是要让学生充分地展示他们的想法，教师只需顺势而为、因势利导，就会达成不错的教学效果. 此时，教师心里就不要再固守“本节课教学目标”的成念，而是要上升到“通过这样的探究活动，学生的哪方面的能力、素养有所提升”的高度. 其实，这个时候也就完成了从教学有法、教无定法到贵在得法的顺利过渡.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制订. 普通高中数学课程标准（实验）[M]. 北京：人民教育出版社，2003.

[2]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.