郑康源

【摘要】函数的零点问题是高中数学的重要知识点，同时也是高考的高频考点，在2015年至2017年以及2019年的高考全国卷中都有出现，全方位地考查学生函数与方程、数形结合、分类讨论、化归转化等综合能力。学生在处理函数零点问题中，因函数的零点问题常常以压轴题的形式出现，常常困惑和力不从心。函数的零点问题既是重点，也是难点。本文围绕函数零点问题的处理方式进行反思，归纳总结，牢牢地把握教学重点，突破教学难点。

【关键词】高中数学;数形结合;分类讨论;化归转化;核心素养

人教版高中数学课本对零点概念定义是，把函数f（x）=0的实数x叫做y=f（x）的零点，也是函数y=f（x）的图像与x轴交点的横坐标，表示如下：

函数y=f（x）有零点?方程f（x）=0有实数根?函数y=f（x）的图象与x轴有交点。

函数的零点问题又可以分为不含有参数和含有参数两大类，前者较为简单，后者常常以压轴题的形式出现，分类繁琐，需要较强的数学基本功底。

一、不含有参数的零点问题

1.因为不含有参数，所以提问的方式为函数有多少个零点。最直接的方法是令函数f（x）=0解方程，求出方程的解，即可得到函数的零点。

例1：函数f（x）=xcos x2在区间[0，4]上的零点个数为 （     ）

解析：（1）当x=0时，f（x）=0.又因为x∈[0，4]，所以0≤x2≤16.因为5π<16<，所以函数y=cos x2在x2取，，，，时为0，此时f（x）=0，所以f（x）=xcos x2在区间[0，4]上的零点个数为6。

2.当令函数f（x）=0是一个超越方程，无法直接求解时，可转化为两个（较简单的）函数的交点问题，再结合图像进行判断，需要注意的是函数本身可以通过适当的变形，使得转化成两个函数的草图更容易作出。

例2：函数f（x）=2sin xsin-x2的零点个数为……