胡晋宾 刘洪璐

摘要：在数学教育中，有很多朗朗上口的名人名言被不断引用和传播，使许多重要理念逐渐凝结为共识，从而直接或间接地影响着数学课改。精选十句经典数学教育名人名言，简要论及它们对数学课改的深远影响。从名人名言的角度研究数学课程改革，也是数学文化的一种具体表现。

关键词：名人名言;数学课改;数学文化

“假傳万卷书，真传一句话。”名人名言被广为引用和传播，不仅仅是因为名人效应，更主要的原因是名人高瞻远瞩，提炼和发出普通民众的心声。在数学教育中，也有很多朗朗上口的名人名言被不断引用和传播，使许多重要理念逐渐凝结为共识，从而直接或间接地影响着数学课改。以下精选十句经典数学教育名人名言，简要论及它们对数学课改的深远影响。

一、课程名言

第一句是，恩格斯的“数学是研究数量关系和空间形式的一门科学”。

恩格斯在《反杜林论》中的原话如下：“纯数学是以现实世界的空间形式和数量关系，也就是说，以非常现实的材料为对象的。这种材料以极度抽象的形式出现。这只能在表面上掩盖它起源于外部世界。”恩格斯是哲学家而不是数学家，古今数学显然也有较大差异。从这句话来看，他强调的是数学来自外部世界，而且纯数学研究的是“现实世界”中的对象。实际上，今天数学的来源不再局限于现实世界的范畴，而且有想象中和逻辑上的可能选项。但是，数量关系和空间形式还是大致反映了中小学数学的内容主旨，因此，无论是义务教育阶段还是高中阶段的数学课程标准，都把这句名言修改为“数学是研究数量关系和空间形式的一门科学”，作为数学课程和教学的逻辑起点放在开篇，简明扼要地回答了“数学是什么”的哲学追问。它反映了一种数学观，提示人们数学不是去研究物质的其他方面，而是聚焦于抽象的空间形式和数量关系。

第二句是，齐民友的“一种没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的”。

在数学界和数学教育界，把数学当作一种文化并高度重视数学文化价值的人不在少数，相关名言举不胜举。文化是一种素养，“教育无非是一切已学过的东西都忘掉时所剩下的东西”，故两者具有内在的一致性。这些名言强调的是，要跳出传统观念中对客观知识的狭隘理解，站在数学的人文宏观立场上重视数学乃至数学教育。虽然对数学文化的定义众说纷纭，但是当下的课程标准、教材和教学中，都有很多数学文化（数学人文和数学历史等）的身影，大家对数学的人文性、观念性和潜隐性的关切是不约而同的。相关数学文化立场的理念，反映的是对知识生硬掌握和技能机械操练的超越，指向的是思想文化和精神素养的应然追求。正因如此，《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：“数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分。”不仅如此，课程标准将整个数学课程结构纳入数学文化的范畴来宏观设计，倡导数学内容与数学文化的有机融合。

第三句是，苏步青的“中小学教材可以混而不错”。

也就是说，知识的发展、认知的建构和学习的开展，不一定按部就班完全对应。在教材编写过程中，不必拘泥于数学知识的逻辑结构，刻板追求内部系统的形式严谨，而应该充分认识和尊重学与教的实际，在某些不易交代清楚的地方先含混（当然，在含混的时候不能出现科学性差错）过去，删繁就简以利教学，等到时机成熟后再来反思提升，让学生在不断前进和日趋发展中壮大自己，不能毕其功于一役而裹步不前。这一名言启迪我们，绝对的、僵化的严谨是做不到的，也是不利于数学教学的。中小学数学教材组织，往往要在学科课程和经验课程之间谋求一种动态和谐的适切平衡。在教材编写时，要汲取“新数运动”等的教训，恰当选择旧有认知平台，以减轻学生学业负担;妥善处理教材编写过渡，以利“淡化形式、注重实质”（陈重穆语）。一个典型的案例是，当下的课程标准精选了基本事实作为公理，对传统几何进行了有效改造，方便教师的教和学生的学。

二、教学名言

第一句是，张奠宙的“数学教师要善于将知识的学术形态转化为教育形态”（简称“形态说”）。

张奠宙指出，知识具有原始形态、学术形态和教育形态。知识在发现、发明和发表后，往往是学术形态的，比如数学定理等。数学教学中，高明的教师善于将知识转化为教学形态。与之类似的名言是张景中的“数学教育研究的就是如何砸核桃、吃核桃”（简称“核桃说”）。张景中指出，数学有价值但是不好掌握，就如同核桃有营养但是不好剥壳一样。两位张先生倡导的，都是区分数学学术和数学教育及其研究的差异，考虑数学教学实际进行教学转化的问题。把知识进行教学法加工，方便学生理解和建构，这在本质上是教师教学能力的重要指标，是教师专业发展的重要方向，也是数学教育工作师范性、专业化和艺术化的具体体现。教材编写亦是如此。因此，《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，教材编写要“处理好数学的科学形态与教育形态之间的关系”。

第二句是，弗赖登塔尔的“与其说学习数学，不如说学习数学化”。

相关的观点有：数学是常识的精微化，要考虑并尊重学生的数学现实;数学化有水平数学化和垂直数学化之分;数学教学要考虑“再创造”。弗翁的这句名言，意义类似于“教是为了不教”。教学不是灌输结果性静态知识，而是通过经历数学化，也就是抽象化、形式化和逻辑化等数学思维磨砺，把教学的结果占有和过程经历结合起来。具体的教学组织中，既没有水平数学化也没有垂直数学化的是机械主义教学，多有水平数学化而少有垂直数学化的是经验主义教学，多有垂直数学化而少有水平数学化的是结构主义教学，既有水平数学化又有垂直数学化的是现实主义教学（理想教学）。显然，水平数学化和“三会”中的“数学的眼光”在思路上是一致的。弗赖登塔尔的观点对中国的数学教育影响很大，今天的课程标准中有生活现实、数学现实和其他学科现实之分，与此倡导不无关系。我们不妨从以下两位专家的观点中窥其一斑。刘坚指出：“当然，被称之为影响20世纪后50年国际数学教育发展方向的荷兰数学家和数学教育家弗赖登塔尔的‘现实数学教育思想对我和我们课题组有着巨大的冲击。这些对我们开展‘大众数学的研究产生了积极的影响，对世纪之交国家层面的数学课程改革产生了重要的推动作用。”孙晓天指出：“我国正在进行的新一轮数学课程改革，也受到了弗赖登塔尔现实数学教育思想的影响和启发。”

第三句是，斯托利亚尔的“现代的数学教学应该是数学活动的教学”。

斯托利亚尔指出，数学活动可以分为3个阶段：第一，经验材料的数学组织化;第二，数学材料的逻辑组织化;第三，数学理论的应用。其实，这3个阶段也大致对应当前所说的3个数学基本思想（数学核心素养）——数学抽象、数学推理和数学建模，而且，第一和第二阶段就是水平数学化与垂直数学化。上述过程大致反映出唯物主義的路径：从现实中去提炼，到数学中去升华，再回到现实中去应用。数学教学从本质上来说，就是通过数学知识学习，学会（数学地）思维（思考）。数学教学，应该以知识生成、发展为载体与线索，训练数学技能，“要充分暴露数学思维过程”（张乃达语），再把数学思维凝练成为数学思想。经历上述过程的思维积淀，当下课程标准中倡导的“四基”（基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验）也就都有了。

三、学习名言

第一句是，哈尔莫斯的“问题是数学的心脏”。

数学问题无论是对于数学研究，还是对于数学教学来说，都尤其重要。在数学发展方面，希尔伯特指出：“任何一门学科，只要它能提供丰富的问题，它就是有生命力的。相反，如果问题贫乏，那就预示着这一门学科的独立发展已经趋向消亡和终止。”而波利亚则说：“掌握数学就意味着善于解题。”实际上，课程标准已经提出数学“四能”——发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。这些问题可划分为以下多种：纯粹问题，现实问题;封闭题，开放题;等等。这句名言提醒我们，数学学习不是简单的浅层阅读，而要以问题的解决为练兵场，下功夫多做题、去实践。通过做题、实践与反思，学会解题、应用与思维。显然，不能把问题局限于教辅资料上的题目。能否从数学的角度发现、提出、分析和解决问题，是数学学习能力和素养水平高低的具体表现。切换到教学方面，能否以恰当的问题（问题串或问题链）驱动课堂，也是数学教学成败的关键。

第二句是，米山国藏的如下名言：“在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法以及看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终身受益。”

上述名言指出的是，相对知识而言，数学的思想方法乃至理性精神至关重要。真正的掌握，是对数学知识的融会贯通，是对数学思想的深刻领悟，是对数学文化的自觉继承。正因如此，郑毓信指出，数学教学可划分为以下3个层级：知识技能，思想方法，文化观念。局限于知识技能，只能算工匠型教师。超越知识技能，挖掘知识技能背后潜在和负载的数学思想方法，那就是智慧型教师。若再超越思想方法，把数学学习当作一种文化传承和观念建构，那就是大师型教师。所谓“授人以鱼不如授人以渔”，理想的数学教学需要智慧型和大师型教师，理想的数学学习追求数学思想方法的领悟和数学文化观念的熏陶。

第三句是，吴文俊的“数学是笨人学的”。

显然，吴文俊不是笨人。这里的“笨”是指，数学的发展是严谨求实和循序渐进的，数学研究和数学学习都需要专注努力，通过不懈超越，方可熟能生巧，才有推陈出新。陈省身经常说，“我别的不会”，“比方说在厨房里头炒木须肉，这个菜炒了几十年以后，才了解得比较清楚，数学（研究）也这样子，有些工作一定要重复，才能够精，才能做新的东西”。华罗庚也说，读书应该“从薄到厚”再“从厚到薄”。上述名言启迪我们，数学学习没有终南捷径与“王者之道”;基础不牢，地动山摇;首先打好基础，然后才能深入发展。这也可以理解为，数学往往使人谦虚、理性，不浮泛、少感性。当然，在数学学习过程中，要强调适度的熟能生巧式演练，因为低水平的“刷题”和无休止的“死揪”，是会导致“熟能生厌”和“熟能生笨”的（李士锜语）。反映在课程标准里，数学教学已经从传统的“双基”的侧重拓展到“四基”的平衡。在倡导自主、合作、探究学习的同时，并不排斥传统的有意义接受式学习。

第四句是，欧内斯特的“绝对主义的伊甸园，不过是傻瓜的天堂”。

该名言告诫我们，确定性、绝对性的数学观虽然合理，但是并不吻合经验，经验和拟经验的数学观对确定性和绝对性的数学观的取代已成必然趋势。“任何一次深入的数学教育改革运动，必然具有一定的哲学思想基础。”当下的数学课程和教学改革，较多地体现出上述数学观的转变。根据欧内斯特的研究，绝对主义是静态的、结果的，注重终结的或展现了的知识（命题等），以及知识的基础和判定;把数学看作与其他知识领域严格隔离分开的单独学科，认为数学只依靠严格的证明，否认数学与人类历史、知识发生以及环境条件等的内在联系。而可误主义是动态的、过程的，注重知识的发生和人类对创造知识的贡献，肯定出错的作用;把数学与人类整体知识结构相联系，认为数学不能与物理学以及其他科学相分离，数学是人类历史以及实践乃至文化的不可分割的组成部分。类似的观点不少。比如，波利亚认为：“数学有两个侧面。一方面，是欧几里得式的严谨科学，从这方面看，数学像是一门系统的演绎科学。但另一方面，创造过程中的数学，看起来像是一门试验性的归纳科学。”波利亚与欧内斯特在有关数学知识理解方面的许多观点不谋而合。上述名言的启示是：数学学习应该强调过程，关注文化，宽容差错，联系实际，兼顾合情推理和演绎推理;不能简单复制与全盘接受，而应大胆质疑和批判超越，等等。这在课标和教材中，都有大量体现。

四、结语

上述名言已经成为数学教育专业的共有学术话语，表现出了经久的生命力和强大的影响力。经常反思这些名人名言，有利于了解教育理念的来龙去脉，加深对数学课程与教学的理解，促进对学生数学学习的引导，方便教师教学工作的开展。而从名人名言的角度研究数学课程改革，显然也是数学文化的一种具体表现。

以上名言的选择局限于数学教育方面，没有涉及一般教育领域。实际上，一般教育名言对数学教育的影响也不可低估。比如，奥苏贝尔指出：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之曰：影响学习唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么。要探明这一点，并应据此进行教学。”此外，还有一些数学教育名言对数学教育具有很大的启发性，如李秉彝的“标准是家，不是牢房”，章建跃的“理解数学，理解学生，理解教学”，单墫的“数学是思维的科学”，华罗庚的“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学”等。本文不一而足，挂一漏万。

最后值得一提的是，以上将名言分为课程、教学和学习三类是粗略的。事实上，它们是很难严格分类的，尤其是教学名言与学习名言，因为教学的本质就是促进学生学习，而我们又是从教学的角度看待学习问题的。

参考文献：

[1] 刘洪璐.关于数学教材中名人名言的编写思考[J].数学通讯，2017（4）.

[2] 唐彩斌.怎样教好数学——小学数学名家访谈录[M].北京：教育科学出版社，2013.

[3] 孙晓天.数学课程发展的国际视野[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4] Paul R.Halmos.数学的心脏[J].弥静，译.数学通报，1982（4）.

[5] Paul Ernest.数学教育哲学[M].齐建华，张松枝，译.上海：上海教育出版社，1998.