孙林

[摘   要]利用对称性解题是一种重要的解题策略.高中数学引入了诸多实践案例验证对称性对提高解题速度的作用，教师应鼓励学生掌握对称性解题思路.

[关键词]对称性;高中数学;解题

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）20-0023-02

利用对称性解题，不仅能快速梳理解题思路，还可增强学生的解题能力.

一、对称美的表现

（一）杨辉三角的对称美

1   1

1   2   1

1   3   3   1

1   4   6   4   1

1   5   10  10   5  1

1   6   15  20  15  6   1

…………

（二）公式的对称美

很多数学公式中的字母具有对称关系.例如完全平方公式、立方和公式：

[a+b2=a2+2ab+b2]，

[a3+b3=a+ba2-ab+b2].

在公式中，交换字母[a]和[b]，公式本身没有发生变化.

（三）图形的对称美

对称的几何图形有很多，比如平面中的等腰三角形、等腰梯形、圆、椭圆等，它们有些是轴对称图形，有些是中心对称图形.在空间中，球就是一个高度对称的几何体，还有正多面体，如圆台、圆锥等.

二、对称性在高中数学中的应用

（一）对称性在几何中的应用

如果我们能将球、圆、双曲线、椭圆、抛物线等的直观对称性应用到待解决的问题中去，就可以把陌生的、困难的问题转化为熟悉的、容易的问题，从而实现化难为易.

1.解决平面几何问题

[例1]如图1，A、B两点是双曲线[y=kx（k<0）]和直线[y=kx（k<0）]相互交汇的点，过A点，在y轴上作一条垂直线AC，并设交点为C，求[△ABC]的面积.

解：画出反比例函数图像，得到以原点为中心对称曲线，再画直线[y=kx]，使之过原点并与双曲线相交，得到A、B两点.基于反比例函数的对称性，A、B两点必然对称，故得到[OA=OB]，此时[S△AOC=S△BOC].

假设A的坐标是（a，b），则直线[AC=a] ，[OC=b]，

则[S△AOC= AC×OC÷2=ab2]，所以[S△ABC=ab].

求解该题时，若只关注交点，求解过程便会变得复杂.若能从双曲线的中心对称性出发寻找突破口，答案便