汤锋

【摘要】高中阶段的数学学习难度明显增加，学生在学习过程中普遍存在困难，学习效率较低，因此，如何提高学生的学习效率应当是现阶段教师需要重点思考和解决的问题.数形结合不仅仅是一种数学思想，还是一种关键的解题工具，在高中数学中，具有极高的应用价值，将数形结合思想贯串高中数学，不仅可以强化学生的思维能力，还能为学生提供更多解题思路，以解决实际问题.本文对数形结合思想及数形结合思想的教学原则进行阐述，并具体探讨数形结合思想在高中数学的实践.

【关键词】高中数学;数形结合;基本原则;实践

现阶段，受高考的影响，高中学生普遍压力较大，很多学生都尝试以题海战术提高成绩，但是往往事倍功半，效果不甚理想，这其中最根本的原因是学生的思维能力没有得到充分锻炼与提升.高中数学教学不仅要注重具体知识的传授，更要注重培养学生的数学思想，引导学生用数学思想解决实际问题，这样才能促使学生获得全面提升.数形结合思想的核心分为两个方面，一是以形解数，二是以数解形.其本质上是利用数形转换的模式帮助学生更好地理解知识，并为学生提供更多思路.在高中数学教学中渗透数形结合思想对于提高学生的思维能力及学习效率具有重要作用，教师有必要对此进行深入研究分析.

一、数形结合思想概述

数形结合思想简单来说就是在数学体系中，数形相互转化，以数精准度量形，以形直观展示数的一种思想，其本质就是将抽象的数量关系和直观几何图形结合起来，既可以分析数量关系，又能揭示几何规律.数学是一门研究空间形式和数量关系的学科，空间形式和数量关系作为数学的基本研究对象，二者是相互依存的关系，抽象的数量关系可以用直观的几何图形展示，而物体的形也可以用数精确度量，数形结合就形成了数形结合思想.华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”这句话很准确地揭示了数形结合思想的本质，并高度概括了其价值.数形结合思想是形象思维与抽象思维的充分结合，可以化繁为简，对于解决数学问题具有重要帮助.

二、数形结合思想教学的基本原则

1.目标性原则

目前，高中数学教学中尚未真正落实数形结合思想，其根本原因是缺乏明确、具体的目标，导致数形结合思想难以与具体的知识相结合，学生难以掌握数形结合思想的精髓.鉴于此，教师在教学过程中应明确教学目标，确定以哪些知识为基本载体，采用哪种教学模式将数形结合思想渗透到教学过程中.

2.系统化原则

高中数学教材在编排上是以模块划分的，不同模块侧重不同的知识内容，这在一定程度上限制了数形结合思想的渗透，对此，教师在教学过程中应遵循系统化原则，注重挖掘数学教材中可以作为数形结合思想载体的知识内容，系统化地进行归纳总结，以单元、专题、模块的形式让学生对数形结合思想产生全面认知.

3.层次性原则

从本质上来讲，数形结合是一种数学思想，比较抽象，只有在解决具体问题时才会体现其工具性，因此，要让学生充分理解和掌握存在较大难度.鉴于此，教师在教学过程中要遵循层次性的原则，要与学生的认知水平保持一致，以螺旋上升的形式，循序渐进地渗透数形结合思想.教师要注重对学生的引导，让学生从教材知识中感悟数形结合思想，在习题练习过程中掌握数形结合思想，最终在总结复习的过程中实现数形结合思想的内化.

4.全过程原则

所谓全过程原则指的是数形结合思想应当贯串整个高中数学教学，让学生通过不断感悟、练习，最终掌握数形结合思想的精髓，并将其应用于解决实际问题当中.数形结合本身就是一个抽象化的数学思想，学生需要一个由低到高的认知过程，这样才能让数形结合思想深入骨髓.从这方面来说，要求教师将数形结合思想贯串高中数学教学的始终，最终促使学生完成由感悟性认知向理性认知的过渡.

三、数形结合思想在高中数学中的实践

1.数形结合思想在集合中的实践

集合是高中阶段数学的必修内容，也是学生在高中阶段最先接触到的数学知识，这部分内容是高中阶段数学的基础性内容，对于后续函数等内容的学习具有重要作用.在学习关于集合的内容时，数形结合思想的价值在于其可以将抽象化的数数关系转换为几何图形之间的关系，使其更加形象具体.目前最为普遍的方式就是利用韦恩图与数轴的方式来表示集合，进而帮助学生更加直觀地理解和分析问题.

所谓韦恩图如图1所示，就是将取值范围不同的集合以图形表示出来，一般情况下，以正方形表示最大数域，以圆形表示题目中的不同集合，通过这种形式即可直观地判断不同集合之间的关系.若两个圆形有交叉部分，则表示二者存在共有元素，即交集;若这两个圆形所有面积涵盖了二者所有元素，即可并集;若两个圆形没有交叉部分，则代表二者之间没有关系，二者的交集为空集;而在两个集合外的部分即是最大数域内二者的补集.

数轴一般主要用来处理含有未知数并且已知条件相对模糊的集合问题，在数轴上将集合关系表示出来，可以更加直观的理解问题.

例如：已知x-1+x-5=4，求解x的取值范围.

这种问题就可以采用数轴解决，如图2所示，通过观察数轴，很容易就可以得出x的取值范围为1≤x≤5.这种形式不仅简单明了，而且思路清晰，易于学生解决一些抽象性的问题.

2.数形结合思想在函数中的实践

函数是高中阶段数学重要的模块之一，也是学生普遍认为难度比较大的部分，这部分内容是后续学习导数、三角函数、数列等知识的重要基础.在学习函数这部分内容时，数形结合思想是解决函数值域、定义域问题，零点问题的重要工具，可以帮助学生更好地理清思路，尤其是关于函数的零点问题，这是高中阶段难度比较大的问题之一，多见于高考的压轴题目中.本文以求解函数的值域、定义域问题为例，具体分析数形结合思想在函数中的应用.函数的定义域即自变量取值范围，值域即因变量取值范围，在解决此类问题时仍采用以形解数的思路.

比如：求解二次函数y=ax2+bx+c的值域.

首先需要对该函数配方，再画出图像，根据图像确定定点是否处于所求取值范围，如图3所示.此时就会出现两种情况，一是x的取值范围为整个实数，由此就可以根据函数图像中a的正负值画出图像判断，如果a>0，顶点函数值为N，即该函数值域是{N，+∞];若a<0，顶点函數值为N，即该函数值域为（-∞，N].二是该函数有确定定义域，若顶点不在取值范围内则直接带入两个端点值来求值域，因为此时函数呈现单调性;若二次函数配方后的顶点在所求的取值范围内，则需要先求出所给取值范围的两个端点值与函数的顶点值，最终得出三个数值中，最大值即该函数值域最大值，最小值即该函数值域最小值.

3.数形结合思想在解析几何中的实践——以圆锥曲线为例

关于圆锥曲线这部分内容也是高中阶段难度较大的内容之一，在高考中也比较多见，基本每年都会有至少一道与圆锥曲线相关的填空题或者选择题或一道解答题.一般来说，这种题目对于学生灵活运用知识的能力要求较高，因此，在学习过程中需要教师引导学生从多角度分析问题，灵活运用教材中的知识，而数形结合思想就是其中最为关键的一种思维方法.

例如：已知A（1，1）是椭圆x29+b24=1内一点，F1是左焦点，P是椭圆上一动点，求解|PF1|+|PA|的最大值与最小值.

由x29+b24=1可知a=3，b=5，c=2，椭圆左焦点F1为（-2，0），椭圆右焦点F2为（2，0）;根据椭圆定义可知|PF1|=2a-|PF2|=6-|PF2|，所以|PF1|+|PA|=6-|PF2|+|PA|=6+|PA|-|PF2|，如图4所示，由|PA|-|PF2|≤|AF2|=（2-1）2+（0-1）2=2.

可得-2≤|PA|-|PF2|≤2，若P点在AF2的延长线上的P2位置时，取右等号;若P点在AF2的反向延长线上的P1位置时，取左等号，由此可得|PA|-|PF2|的最大值为2，最小值为-2，即|PF1|+|PA|的最大值为6+2，最小值为6-2.

4.数形结合思想在立体几何中的实践

立体几何也是高中数学中重要的模块之一，也是学生学习的难点之一，在这部分内容中，主要应用的是以数解形的思路.比如在学习向量的线性运算这部分内容时，教学就可以渗透数形结合思想，引导学生采用以数解形的思路解决实际问题.向量的加法运算即向量最基本的运算，满足平行四边形定则，图像为首先将两个向量AB，AD通过平行移动使得两个向量的尾都移动到同一点A，接下来画出平行四边形，对角线表示向量加法的向量.那么学生在每次进行向量加法运算时都需要画出相对应的平行四边形吗？显然并不需要，教师可以尝试直接将一个向量的尾端位置与另一向量的首端位置通过平行移动到同一点，接下来我们再顺次连接后一个向量的尾端位置到前一个向量的首端位置，通过这种方式也能完成向量加法的运算，这种方法也被称之为首尾相连.以数解形的思路可以有效帮助学生更好地解决立体几何问题，其不仅在向量运算部分可以采用，在解决点、线、面不同关系的问题时也可以采用.

结 语

综上所述，数形结合思想在高中阶段数学当中具有广泛的应用空间.从宏观层面来讲，数形结合思想可以降低学生的学习难度，锻炼学生的思维能力，使学生形成正确的数学思维;从微观层面讲，数形结合思想可以帮助学生解决各种实际问题，让学生在解题过程中思路更加清晰明确.作为教师，在教学中要积极探索渗透数形结合思想的方式方法，挖掘教材中合适的知识载体，将数形结合思想贯串学生整个高中生涯.

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