王云杰 吴翠兰

【摘要】    线性代数是大学的一门基础课，是许多专业的必备知识，是学生后续学习的保障。然而，线性代数的高度抽象性以及独立院校学生底子薄，学习主动性不足等因素，导致出现学生学习线性代数的兴趣不高，学起来比较吃力等现象。为了解决这些问题，本文采用简单易懂，有趣实用的案例教学法，突出线性代数的实用性及有趣性。 以此来排除学生对线性代数的恐惧心理，激发学生学习线性代数的兴趣。从而有利于锻炼学生运用线性代数知识解决实际问题的能力，有利于提高学生的综合素质力。

【关键词】    案例教学法    线性代数    幻方    线性方程组

On the application of case teaching method in linear algebra

WANG Yunjie    Kenwen Institute， Jiangsu Normal University， Xuzhou， Jiangsu Province，

WU Cuilan    School of Mathematics & Statistics， Jiangsu Normal University， Xuzhou， Jiangsu Province，

Abstract： Linear algebra is a basic course in University， which is the necessary knowledge of many majors and the guarantee of students' follow-up study. However， the high degree of abstraction of linear algebra and the weak foundation of independent college students， lack of learning initiative and other factors lead to the phenomenon that students' interest in learning linear algebra is not high， and it is difficult to learn. In order to solve these problems， this paper adopts simple， interesting and practical case teaching method， highlighting the practicality and interest of linear algebra. In order to eliminate students' fear of linear algebra， stimulate students' interest in learning linear algebra. So it is helpful to train students' ability to solve practical problems by using linear algebra knowledge， and to improve students' comprehensive quality.

Keywords： Case teaching method; Linear algebra;  Magic square;  Linear system of equation

引言

线性代数是大学教育的一门基础课， 它研究的是多个变量之间线性关系。 随着科学技术的发展和国际新形势的出现，线性代数在计算机科学、经济学、人工智能及社会学等各个领域发挥的作用日益显露出来。是解决经济、控制系统等问题强有力的工具，对培养学生的 抽象思维能力，逻辑推理能力，以及建立数学模型，求解实际问题能力都有很重要的意义。由于线性代数课程的抽象性，特别是向量的线性相关性这一部分知识。学生普遍反映对线性代数的概念及定理感到混乱、不理解，致使学生学习线性代数的兴趣和主动性不足。特别地， 对独立学院的学生更是如此. 从而导致教学效果不甚理想。另外，考虑到学生学习的大多都是理论知识，不知道线性代数有何用处，到底该怎样应用。再加上他们学习的目标更多是应付期末考试，以及学习线性代数时大多数还没学习专业知识，体现不出线性代数在本专业的应用。导致学生无法具体的体会线性代数的学习意义及其应用。针对这些问题，我们将重点考虑如何用案例教学法提高学生学习线性代数的积极性，如何调动学生的学习兴趣这一问题。

本文重点考虑用简单实用的案例来加深学生对概念和定理的理解。用有趣的案例来调动学生学习线性代数的积极性，从而达到培养学生学会独立思考问题及解决实际问题的能力。 最近， 已经有不少学者在这方面做了大量的工作， 比如文献[1]中的人口迁移问题和文献[2]中扑食者与被扑食者系统问题，它们都有助于矩阵特征值和特征向量的学习; 文献[3]中的药方配制问题，通过这个实例可以使学生更好的理解向量组的线性相关性这部分内容; 文献[4]中的密码加密和解密问题， 能加深学生对矩阵乘积运算和矩阵逆運算的理解和应用。 这些在一定程度上培养了学生的实际应用能力，提高了学生的综合素质能力，也将引起学生的学习兴趣，从而最终提高线性代数的教学效果。

一、案例教学实例

实际案例就是通过尽可能直观的例子，通过利用线性代数的知识，解决实际问题。让学生感受到线性代数的趣味性，体会到线性代数的强大，看到线性代数的实用性。我们的主要目的是让学生能够学以致用，也为他们的后续学习打下坚实的基础。因此，案例要简单易懂，贴近生活，有一定的现实意义，最主要的是要有一定的趣味性实用性。给学生介绍一些和线性代数息息相关，且目前比较流行的实例，比如应用广泛的人脸识别、密码、AlphaGo等[5，6]，肯定会引起学生的学习兴趣。

1.1 方程组求解问题

线性代数主要内容之一就是线性方程组的求解问题。 如文献[7]利用Matlab计算方程组的解。将来，学生们也要步入社会，也要为人父母，这就不可避免的面临孩子上小学时的学习奥数问题。

奥数问题向来都是很神秘、有趣且难度较大的问题。通过引入奥数问题，必定能引起学生的兴趣。因此，我们想到在课堂中引入如下奥数中常见的问题：

当然，这些公式不仅仅用于奥数问题。在大学学习中，求极限及积分的问题中也会遇到。

当k=1，k=2时，我们是比较熟悉的，具体的公式如下：

.

而对于k≥3时的公式，我们一般就不是太熟悉了。这里我们可以利用方程组求解的方法来得到具体的公式。比如k=3时，为此可以设

分别令n=1，2，3，4便可得到关于的方程组，解方程组便可以得到上面的具体公式。上面的实例是通过建立一个4阶的非齐次线性方程组的方法来解决问题的。通过这个实例，让学生体会到从实际问题建立方程组，再利用矩阵的初等变换来求解线性方程组。加深了学生对方程组存在唯一解的情况的理解。

1.2 矩阵问题

游戏应该是最能引起大家的兴趣。 介绍矩阵及矩阵的加减运算时，我们可以引入一个小游戏： 幻方。 这个实例可以大大的激发学生的兴趣， 活跃课堂气氛。考虑到课堂时间有限，我们可以借助于QQ工具提前将整理好的资料发布在班级的QQ群里，通知上课时让学生写成n=3，4，5，6阶的幻方矩阵。为了方便，我们介绍一下幻方的概念。一个n阶幻方是由整数1，2，3，…，n2按下述方式组成的n×n方阵： 该方阵每一行里所有整數的和，每一列里所有整数的和， 以及两条对角线中每条对角线上的整数的和， 都等于同一个数。下面分别是n=3，4，5的一种构造方式：

如果没有掌握有效的构造方法，当n较大时，短时间内是很难构造出来的。由于这是非常有趣的问题，因此许多数学工作者对此做了大量的研究，给出了各种不同的构造方式。总体来说， n为奇数和n为偶数有很大的区别。为了完整性，且考虑矩阵的加法运算，我们介绍n为奇数时的一种构造方法。而对于n为偶数的情况，我们将给出参考书，让学生独立的去学习或到网上搜索资料。这在一定程度上起到了训练学生的自学能力。 本文介绍的是De la Hire的方法， 可以查阅参考文献[8]。 当然还有许多其它构造方法， 但这种方法一方面能构造出许多不同的幻方， 另一方面，n为偶数时也有一个类似的方法， 只是稍微要复杂一些。 它们都用到了矩阵的加法运算。 其方法如下： 首先， 构造两个n阶矩阵（这里，我们将以n=5为例写出所构造的矩阵）。

第一个矩阵的构造：A1

1. 在其第一行的第一个位置放入1，2，…，n的平均数;  而1，2，…，n的其它数可以在其它位置按任意顺序各放一个。 比如n=5时， 我们可以按如下顺序放置：3;1，4，2，5， 具体见下面的矩阵A1 ）;

2. 其第n行的前n-1个元素放置的整数要与第一行的后n-1个数的顺序一致（顺序为1，4，2，5，5;3）;

3.斜右下方向对角线（主对角线）放同样的元素。

第二个矩阵A2的构造类似： 主要区别是将斜右下方向改为斜左下方向。

1.第一行第最后一个元素放0，n，2n，…，（n-1）n的均值， 而0，n，2n，…，（n-1）n中其它元素在其它位置可以按任意顺序各放一个;

2.第n行后n-1个元素和第一行的前n-1个顺序一致;

3.斜左下方向对角放同样的元素。

最后将两个矩阵相加即构造出一个n阶幻方

若第一个矩阵的第一行我们用不同的顺序，如3;1，2，4，5，则将得到一个不同的5阶幻方。因此， 这个方法可以构造多个不同的n阶幻方。最后一步我们用到了矩阵的加法运算。 这个实例是一个古老且有趣的游戏，虽然矩阵的概念及矩阵的加法运算非常简单，但通过这个例子，可以大大激发了学生的学习兴趣。另外，幻方组合数学中的重要内容，拓宽了学生的知识面。

通过实际案例的教学，不仅能激发学生学习线性代数的兴趣，而且能加强学生利用数学知识解决实际问题的能力。

二、结语

线性代数不仅在物理学、工程学、经济学、社会学等各个领域起着非常重要的作用， 而且对当前流行的人工智能， 大数据， 人脸识别等领域也起到至关重要的作用。我们从目前线性代数教学中存在的问题出发， 考虑用简单的案例教学来加深学生对概念、定理的理解。 通过有趣的案例， 在课堂上尽可能的调动学生学习的积极性， 有利于培养学生独立思考的能力， 有利于锻炼学生利用线性代数知识解决实际问题的能力。

参  考  文  献

[1] 刘俊菊，王健. 案例教学法在线性代数教学中的应用，课程教学（Curriculun Teaching） 2018（25）： 108--109.

[2] 郑玉军，汤琼. 基于案例与问题驱动的线性代数教学，湖南科技学院学报，2019，40（5）： 5-6.

[3] 胡玥. 线性代数案例教学研究，教育时空（Education space），2017： 179-180.

[4] 徐亚鹏，边平勇，张相虎. 线性代数案例教学研究浅析，中华少年（科学素养教学设计）， 2015， （22）：124-125.

[5] 吴明， 潘亚宾. 一种改进的联合稀疏表示人脸识别算法[J].科技创新导报，2020，17（16）：158-160.

[6] 陈东焰， 陆畅. 从AlphaGo看机器学习[J].科技创新导报，2020，17（13）：146-148.

[7] 于梦晓. 求解线性代数方程组的一种鲁棒分布式算法， 科技创新导报， 2019，（9）： 146-149.

[8] W. Rouse Ball. Mathematical Recreations and Essays; revised by H.M. Coxeter. Macmillian， New York（1962） 193-221.