陈培娟

[摘  要] “几何直观”能有效地助推学生建构直观思维图式。在小学数学教学中，教师要引导学生读图、构图、创图。读图有助于培育学生数学直觉力，构图有助于培育学生数学想象力，创图有助于培育学生数学创造力。从读图到构图、从构图到创图，能敏锐学生的数学直觉，有效地积累、丰富、完善、升华学生的图感，建构学生内在的几何直观思维图式，进而发展学生数学核心素养。

[关键词] 小学数学;几何直观;直观思维图式

“几何直观”是借助于几何图形描述、分析问题，从而让问题变得简明、形象的过程。几何直观既是学生数学学习的手段、方式、方法、策略，也是学生数学学习的重要组成，是学生数学的目标之一，因此也是学生的数学核心素养。借助于几何直观，能有效地助推学生建构直观思维图式。作为学生思维的基本单位，直观思维图式对于学生后续数学学习、研究具有重要的意义和作用。在数学教学中，教师要引导学生读图、构图、创图。通过图导、图构、图创，生成学生的直观思维图式。

一、读图：培育学生的数学直觉力

建构学生直观思维图式，首先要引导学生读图。只有能完整地、清晰地读图，才能有效地培育学生的数学直觉，生成图感。读图，要注重引导学生观察、感知，引导学生实践、操作，引导学生想象、联想。只有这样，才能帮助学生建构整体性、有序性、敏锐性的数学直观思维图式。读图有三个层次：一是对图形表面意义、表象意义的直观感知;二是发现图形蕴含的关系、深层含义;三是对图形表象意义和内在本质的隐性关联。通过读图，获得数学理解，形成问题解决思路。

几何直观的本质就是数学思维的直观化、可视化。在几何直观中，读图一般有三个步骤：其一是引导学生对图形进行描述，尤其是读懂图形的表征;其二是对图形进行直观思维，也就是让图形与学生的内在思维形成某种契合;其三是对图形进行表达。在读图的过程中，尤其要引导学生进行在图形与文字之间穿行，引导是实现图形与文字的转化。在这个过程中，教师一方面要关注图形与学生经验的匹配度，关注图形与学生思维的连接度;另一方面要关注图形与数学知识的匹配度，关注图形与学生后续数学知识学习的延续度。例如：教学《乘法分配律》（苏教版四年级下册），在引导学生通过“实际问题——数学猜想——数学验证——数学总结”的过程中，笔者相机引入了两个等宽的长方形，引导学生对图形进行解读。学生深度观察“乘法分配律”的表达形式，再深度观察两个等宽的长方形，从而建构了“乘法分配律”与“长方形”之间的关联。有学生说，两个长方形的长的和就相当于两个数的和，宽就相当于另一个乘数;有学生说，ac计算的是一个长方形的面积，bc计算的是另一个长方形的面积，ac+bc计算的就是两个长方形的面积和，也就是大长方形的面积，等等。借助于长方形图，“乘法分配律”的简便算律得到了生动的诠释。在这个过程中，学生不仅借助于图形更好地理解了乘法分配律，更感受、体验到“数形”的 结合之妙。

引导学生读图、识图，教师要注重选择合适的图，从而能让图形发挥最大限度的效用。在选择图形的过程中，不仅要注重图形的典型性，更要注重图形的针对性、指向性。只有这样，才能让图形直观发挥真正的实效。借助于图形，不仅能有效地表征问题，更能促进学生的数学理解，深化学生的数学认知，从而助推学生问题分析、问题解决。

二、构图：培育学生的数学想象力

几何直观是一种意识、一种能力，更是一种思维方式。在小学数学教学中，教师不仅要引导学生读图、解图、识图，更要引导学生构图。构图是根据题意对图形的主动建构过程。借助于这个过程，学生能有效地对问题进行表征。在构图的过程中，学生不仅需要调动自我的思维，更需要发挥自我的想象力。借助于构图的实践过程，能帮助学生积累构图经验，掌握构图技巧，这是培育学生几何直观能力的关键。

例如：教学苏教版四年级下册《解决问题的策略——画图》，其中“例2”是这样的一道典型问题：梅山小学有一块长方形花圃，长度是8米。在修建学校校园时，花圃长增加3米，面积一共增加了18平方米。现在的花圃面积是多少平方米？

在解决问题的过程中，学生遇到了一些障碍，他们不能将面积增加的量与长增加的量结合起来进行思考。为此，笔者给学生提供了一个“半成品”，即用长方形表征原来的花圃。在此基础上，引导学生构图，让学生延长长方形的长，宽不变。在构图、画图的过程中，学生能直观感受、体验到长方形花圃的面积之所以增加，是因为长增加了。而在这个过程中，长方形花圃的宽没有发生变化。因而，就催生学生思考“长方形花圃增加的长与增加的面积之间有怎样的关系”，进而就自然地引发学生对长方形花圃的长与增加面积之间的关系。通过观察、思考，学生认识到，借助于这两个条件，可以计算出长方形的宽。在构图的过程中，学生能根据文字信息，将抽象的“数”转换为具体的、直观的“形”。进而，学生借助于直观的“形”，能将问题中的相关的文字信息结合起来，获得深刻的数学思考，形成问题解决思路。

构图在学生的数学问题解决中具有重要的意义。比如著名数学家欧拉通过构图解决了哥尼斯堡七桥问题;著名数学家笛卡尔借助于构图，将代数问题几何化，建立了平面直角坐标系。数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么就整体地把握了问题。”在数学教学中，“几何直观”不仅仅是一种简单的数学学习方法，而是一种科学的思想方法论。

三、创图：培育学生的数学创造力

在引导学生解图、读图、导图、构图的基础上，教师要引导学生积极地创图。通过创图，能培育学生的数学创造力。面对同一个数学问题，不同的学生会产生不同的数学思考。作为教师，就是要激发学生的数学思维，催生学生的数学想象。思维与想象，能拓展学生的几何直观创图空间。创图不同于构图，构图简单地说就是通过几何图形将题意表征出来。而创图则带有一种“完形”的意味，也就是将“不完备”“不充分”的图形完备化、充分化。创图有点类似于初高中阶段的“作辅助线”。通过创图，学生的问题解决思路能得到澄明、敞亮。

构图是一种表征，而创图则是一种创造。比如小学阶段的分數乘法应用题、分数除法应用题，通常需要借助于线段图来表征题意。一般情况下，线段图就是简单地表征题意，因而也就是要学生积极地构图。但有时，这种构图却是非常巧妙的，融入了学生的多重猜想，这时，构图就不仅仅是对题意的表征，而是将条件与问题建立某种关联，这就是创图的过程。

例如：在教学苏教版六年级上册的“分数除法应用题”这部分内容时，学生遇到了这样的问题：王师傅加工一批零件，第一天加工了全部零件的 多30个，第二天加工了全部零件的 少20个，还剩下195个零件没有加工，王师傅加工的这批零件一共有多少个？

这一个问题，学生难以找出“量率对应关系”。据此，有学生就尝试构造线段图。但这种构造不是简单的表征题意，而是需要深入思考。很多学生在画图的过程中还是不能清晰地找出题目中量率之间的对应关系。因为，题目中出现的两个分率分母不同，也就是线段图平均分的份数不同;同时，量率混合、交融，使得学生即使用线段图表征题意也非常复杂。教学中，笔者这样引导学生：能否将两个分母不同的分率统一起来？能否让“率和率放置在一起，量和量放置在一起”？这样的点拨，启发了学生积极地创图。有学生认为，第一天就是加工了全部零件的 多30个，第二天加工了全部零件的 少20个;有学生认为，画图是可以这样画，即先画全部零件的 和 ，然后再将多30个和少20个合并起来，转换为多10个。通过这样的积极创图，问题解决过程思路就变得清晰、明朗起来。创图，就是巧用、妙用几何图形，将数学问题的本质可视化、可理解化。

从读图到构图再到创图，能有效地积累、丰富、完善、升华学生的图感，建构学生内在的几何直观思维图式。作为教师，要为学生的图导、图构、图创提供外部的支持条件，引导学生进入灵动的图感世界。通过几何直观，有效地敏锐学生直觉，发挥图形的教学潜能，进而开启学生的问题解决智慧，发展学生的数学核心素养。