魏建华

[摘  要] 向量等式S  +S  +S  =0是一个基本的等式，证明综合度大，技能要求高，数学思想丰富.该式除了形式具有对称美外，是一个非常一般的结论，能够和三角形的四心证明紧密结合. 文章在证明该式的基础上通过推论的形式还给出了三角形四心常见的向量等价判定形式，最后对定理本身做了进一步的推广.

[关键词] 向量等式;六个推论;三角形的四心;等价判定;推广

以前大家对该等式的证明及其与四心的联系缺乏关注，一来未能体会到该等式的美感，二来缺乏对该等式证明过程中数学思想的挖掘、基础知识的应用、基本技能的掌握，三来对四心向量等价等式的判定缺乏研究和代数直观.因而作者写成此文，旨在打通此教学关节.

定理及其证明

定理：已知点O为△ABC内的任意一点，则S  +S  +S  =0.

证法一：如图1，延长BO交线段AC于点E，延长CO交线段AB于点F，设BF=λFA，CE=μEA. OF=t FC，OE=t BE，t ，t ∈（0，1），则 = =t ， = =t . 又因为点O为△ABC内任意一点，所以 + + =1，所以 =1- - =1-t -t . S  +S  +S  =0？圳  +  +  = ？圳t  +t  +（1-t -t ） =0？圳t  - +t （ - ）+ =0？圳t  +t  + =0（1）.

在△AFC中，可得 =t  +（1-t ） =t  +  .

同理在△ABE中，可得 =t  +（1-t ） =  +t  （2）.

则由平面向量基本定理有：t = （3）.

由（2）式可得 =  -t  （4）.

將（4）式代入（1）式可得：t  +  =0（5）.

由（3）式知（5）式显然成立，此定理得证.

证法二：S  +S  +S  =0？圳S （ - ）+S  +S （ - ）=0？圳S  +S  =（S +S +S ） ？圳  +  =  = ？圳  +  = .

评注：本定理蕴含着三角形的面积守恒，面积守恒是结论成立以及充满对称美的内因，证明向量加减法、向量共线定理、线段定比分点、平面向量基本定理等基础知识，通过等量代换进行消元.知识综合度大，运算技能要求高.

六个推论及其证明

推论1：已知点O为△ABC内的一点，则O为△ABC的重心的充要条件为 + + =0.

证明：先证必要性. 当点O为△ABC的重心时……