李织兰 蒋晓云 王凯成

[摘  要] 把一个三角形剖分成四个面积相等的三角形的方法有很多，文章开启追求“最美”之旅，用黄金分割比和尺规作图的方法画出了一个“最和谐”的剖分构图. 此方法体现理性探索精神，展示和谐之美和逻辑之美.

[关键词] 黄金分割点;尺规作图

问题：在△ABC内确定三个点D，E，F，把一个△ABC剖分成四个面积相等的三角形，即S =S =S =S = S .

王凯成[1]教授用解析几何的方法，计算出D，E，F的坐标，接着描点作图. 查找资料，也没有找到用传统的尺规作图画出这个图形的方法. 我们与很多初等数学研究专家进行过讨论，认为用传统的尺规作图的方法画出这个图形是一个难点.

数学实验细观察

为了探索结论，我们在几何画板上画了一个动态图形，如图2. 要将△ABC的面积四等分，即要先保证S△ADB=S△BEC=S△CFA= S ，将△ABC的各条边四等分，G，H为AB边上的四等分点，K，L为AC边上四等分点，S，T为BC边上四等分点，连接KS，HT，GL. 因为S =S =S =S = S ，所以点D必须在线段KS上，点E必须在线段GL上，点F必须在线段HT上.

拖动D，E，F三点分别在线段KS、线段GL和线段HT上滑动，目标要把中间的那一块变成△DEF，如图3.

从图中看出，当且仅当“B，D，E三点共线;C，E，F三点共线;A，F，D也三点共线”时，则△ABC分成了四个面积相等的三角形，即△ADB，△BEC，△CFA，△DEF.

拖动三点的位置，要达到十分完美融洽与平衡，才能出现令人惊奇的“B，D，E三点共线;C，E，F三点共线;A，F，D也三点共线”和谐共存现象，使S =S =S =S = S . 然而，点D，E，F的特征并不明显，如何确定三点D，E，F仍然困难.

探究特例找特征

著名数学家华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够地“退”，退到最原始而不失……