张琪

[摘  要] 圆类复合问题的突破重点是整合图形的边角关系，合理构图，生成特殊图形，利用图形的特殊性质解题. 问题的解析思路往往不唯一，变换视角可生成不同解法，文章将对一道圆类复合问题进行解法探究，并开展解后反思，提出相应教学建议.

[关键词] 圆;边角;关系;整合;多解

圆是一种特殊的几何图形，中考常从知识综合视角对其加以考查，涉及三角形、四边形等基础图形，融合垂直、平行、相交等几何关系. 以圆为背景的压轴题图像往往较为复杂，问题图像不仅具有多图形相综合的特点，同时含有多种解题思路，可从不同视角进行突破，解析过程要把握图像特性，充分整合边角关系.

问题呈现，解答评析

1. 问题呈现

考题：（2020年浙江杭州市中考卷第21题）如图1，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF.

（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC=30°，求线段EF的长.

（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，

①求证：PE=PF.

②若DF=EF，求∠BAC的度数.

2. 常规解答

（1）求线段EF的长，已知∠BAC=30°和圆半径长，常规思路：解三角形求AB长，整合边角关系推导△OCB为等边三角形，由“三线合一”确定△AFB为直角三角形，推导出EF为Rt△AFB斜边上的中线，从而由边长关系确定EF长.

由条件可知△OAE为直角三角形，其中∠BAC=30°，OA=1，则OE=OA=，AE=EB=OE=;分析可知△OCB为等边三角形，点F为OC的中点，则BF⊥OC，△AFB为以∠AFB为直角的直角三角形，又知点E为AB的中点，由直角三角形斜边中线性质可得EF=AB=.

（2）①求证PE=PF，过点F作BE的垂线，设垂足为点G，交OB于点H，再连接EH，如图2所示，只需证明四边形OFHE为平行四边形即可，具体如下.

因为∠FGA=∠ABC=90°，则FG∥BC，所以△OFH∽△OCB，由相似性质……