张小丽

[摘  要] 以抛物线为背景的函数压轴题具有极高的研究价值，探究解题方法可显著提升解题能力. 考题往往综合性较强，探究过程需深入解读考题结构，把握突破重点，结合解题方法构建思路. 文章将以一道函数综合题为例，进行问题解析，方法探究，并开展解后反思，提出相应的教学建议.

[关键词] 抛物线;平移;四点共圆;定点;思想方法

考题呈现

考题  （2020年武汉中考数学卷第24题）将抛物线C：y=（x-2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2 .

（1）直接写出抛物线C1，C2的解析式;

（2）如图1，点A在抛物线C1对称轴l右侧上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标;

（3）如图2，直线y=kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点;直线y=-x与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点. 求证：直线MN经过一个定点.

問题解析

上述是以抛物线为背景的函数综合题，共分三小问，涉及求函数解析式、求特殊三角形的顶点坐标以及论证直线过定点. 问题解析要充分利用抛物线的相关知识，综合几何性质构建思路，下面逐问讨论.

1.把握平移过程，特性利用运算

根据题干信息可知抛物线C向下平移6个单位长度得到了C1，C1向左平移2个单位长度得到了C2，根据函数图像的平移规律即可推导函数解析式，规律如下：图像上下平移，函数值上加下减;图像左右平移，自变量左加右减. 实际求解时将函数解析式变形为顶点式，可降低运算难度.

抛物线C：y=（x-2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，则抛物线C1的解析式为y=（x-2）2-6，即y=x2-4x-2. 抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2，则抛物线C2的解析式为y=（x-2+2）2-6，即y=x2-6.

点睛  函数图像与函数解析式紧密相关，图像平移规律与函数解析式变化相对应，需要注意的是图像的上下平移反映在函数值变化上，图像的左右平移反映在自变量的变化上，因此将解析式变形为顶点式可直接代入平移单位长度.

2.巧用四点共圆，几何性质突破

该问在抛物线中构建了等腰直角三角形△OAB，求点A的坐标需要借用几何性质来构建思路. 问题解析需要关注条件“以OB为斜边的直角三角形”，联想直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可推知直角三角形一定存在对应的外接圆，且圆心恰好为斜边的中点. 根据上述知识基础可构建四点共圆模型，利用圆的性质破题.

如图3所示，过点A作x轴的垂线，设垂足为C，连接AD. 已知△OAB为等腰直角三角形，则∠BOA =45°，又知∠BDO=∠BAO=90°，所以点A、B、O、D四点共圆，则∠BDA=∠BOA=45°，∠ADC=90°-∠BDA=45°，所以△DAC为等腰直角三角形，DC=AC. 已知点A位于抛物线C1对称轴l的右侧上，点B在对称轴l上，则抛物线C1的对称轴为x=2，可设点A的坐标为（x，x2-4x-2）.

当点A和B位于x轴的上方时，则DC=x-2，AC=x2-4x-2，由DC=AC可得x-2=x2-4x-2，解得x=5或者x=0（舍去），所以点A的坐标为（5，3）;

当点A和B位于x轴的下方时，同理可得DC= x-2，AC=-（x2-4x-2），由等量关系可得x-2=-（x2-4x-2），解得x=4或x= -1（舍去），所以点A的坐标为（4，-2）;

综上可知，点A的坐标为（5，3）或（4，-2）.

点睛  在本题目中，四点共圆的优势是可利用圆周角相等进行角度转化，即由“∠BDA=∠BOA=45°”推得“∠ADC=90°-∠BDA=45°”，从而提取关键条件“DC=AC”，为后续方程构建奠定基础. 四点共圆的判断方法有很多，除了上述利用直角三角形外，还可以从定点距离相等、四边形对角互补等角度进行判断.

3.联立参数方程，特性探究定点

第三问探究直线MN经过一个定点，由抛物线的解析式可知该直线的解析式中含有参数k，解析的基本思路是用参数k表示直线上的点坐标，用待定系数法求直线MN的解析式，然后根据直线解析式的特点来判断直线是否经过定点.

已知直线y=kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，联立方程y=kx，y=x2-6，整理可得x2-kx-6=0，设点E和F的横坐标分别为xE、xF，则xE+xF=k，所以中点M的横坐标为xM= =，则中点M的纵坐标为yM=kx=，点M的坐标为，;同理可得点N的坐标为-，. 设直线MN的解析式为y=ax+b（a≠0），将点M和N的坐标代入解析式，可得=·a+b=-·a+b，解得a=，b=2，所以直线MN的解析式为y= x+2（k≠0）. 分析可知，不论k取何值（k≠0），当x=0时，y=2，即直线MN过定点（0，2）.

点睛  探究直线过定点是典型问题，上述采用联立参数方程，由解析式特点分析所过定点的方式. 另外，特殊值思想在该类问题中有着广泛的应用，部分问题中可先考虑动直线的特殊情况，推断出所过定点，最后加以验证.

深入探究

上述为函数综合题，其中第二问利用四点共圆来巧妙解题，利用圆周角相等实现等角转换. 另外四点共圆模型中还具有如下性质：①同侧共底三角形的顶角相等，②内接四边形对角互补，③内接四边形的外角等于内对角. 实际解题时要充分利用四点共圆模型的特性，合理构建解题思路.

例题：已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D位于CA的延长线上，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线于点F，连接CE交AB于点G，如图4所示.

（1）若点E为BD的中点，试求tan∠AFB的值;

（2）分析CE·AF的值是否随线段AD的长度变化而变化？若不变，请求出CE·AF的值;若变化，请说明理由.

解析：（1）略;

（2）设AB的中点为点O，连接OC和OE，如图5所示，已知∠BCA=∠BEA=90°，则OC=OA=OB，所以点A、C、B、E四点共圆，由共圆模型可知∠BCE=∠BAF，∠CBE+∠CAE=180°. 因为BF∥CD，则∠BFA+∠CAE=180°，所以∠CBE=∠BFA，则△BCE∽△FAB，由相似性质可得=，即CE·FA=BC·AB，其中BC=7，AB=5，所以CE·FA=35，则CE·AF的值不变，为定值35.

评析  上述第（2）问求解时借用了四点共圆模型，利用模型的两大性质（①同弧所对的圆周角相等，②内接四边形的对角互补）进行等角推导，从而提取关键的相似三角形. 四点共圆解题的关键有两个：一是准确提取四点共圆条件，二是合理利用共圆模型的特性进行条件转化.

解后思考

上述对一道抛物线综合题进行了解析突破，并对四点共圆方法进行了深入探究，其中涉及的求函数解析式、求点坐标以及探究直线过定点属于典型问题，挖掘问题结构、关注思维过程可有效提升解题能力，下面结合教学实践深入反思.

1.深刻理解问题结构，围绕重点探究思路

函数压轴题的综合性较强，深刻理解题干信息，把握图像结构是解题的基础，也是构建解题思路的前提. 以上述考题为例，第（1）问突破需要把握抛物线二次平移的过程，然后结合平移规律进行解析式推导，重点是平移规律与解析式的关联;第（2）问求解点坐标，但问题解析需要把握所构三角形位置关系及特性，在此基础上构建四点共圆模型，进行等角转换，重点是四点共圆成立的条件及性质;第（3）问探究直线过定点，需要把握直线、抛物线之间的位置关系，包括交点、相对关系，在此基础上进行直线设元推导、定点分析，重点是求直线参数方程的技巧. 教学中建议引导学生阅读考题，运用数形结合方法解读条件，串联问题条件，思考解题重点，教学解题方法.

2.拓展探究重点解法，多样呈现提升思维

中考压轴题的解析过程会用到一些典型的解法，深入探究问题解法，合理拓展有利于提升学生的解题思维. 以上述考题为例，第（2）问点坐标求解过程中运用了四点共圆模型，利用模型的特性完成了等角转换. 该方法是初中数学需要重点掌握的解法，教学中可开展专题探究，指导学生深入学习四点共圆模型，探究四点共圆成立的条件以及模型所具有的性质. 四点共圆方法属数学隐圆法的一种，探究教学中可围绕隐圆法进行问题设计，结合实际问题引导学生感悟方法，培养学生的洞察力，拓宽解题视野，提升数学思维.

3.渗透数学思想方法，发展数学核心素养

渗透思想方法是考題探究的重要环节，即在解题教学中引导学生感悟数学思想，理解方法精髓，培养利用思想方法解题的思维习惯. 以上述考题为例，问题解析过程需要综合数形结合思想、分类讨论思想、模型思想、化归转化思想、方程思想等，正是在数学思想的引导下完成了问题解析、模型构建、条件转化. 考虑到数学思想较为抽象，教学中建议结合具体内容开展思想方法学习，以数形结合思想为例，可结合函数内容进行思想渗透，引导学生关注函数解析式的特性，对照函数图像进行几何意义教学，让学生感悟思想内涵，逐步发展学生的核心素养.