陈霞

[摘  要] “一线三等角”模型是重要的几何模型，该模型中的三个等角顶点位于同一直线上，可形成一组相似关系，中考常以该模型为背景命制探究题. 挖掘模型特点，深入赏析模型有着一定的意义. 文章将探究一道“一线三等角”模型考题，解读赏析模型，提出相应的教学建议.

[关键词] 几何;一线三等角;模型;相似三角形;拓展

考题探究

几何综合题是中考常考问题类型之一，问题往往以几何图形为外在形式构建内在几何关系，可全面考查学生几何知识、空间几何观以及逻辑思维. 下面以一道几何探究题为例，进行问题探究.

1. 考题呈现

考题：2020年江苏宿迁中考数学卷第27题

感知：（1）如图1，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=.

探究：（2）如图2，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H. 求证：BH=GH.

拓展：（3）如图3，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G. 求证：BG=CG.

2. 思路探究

（1）已知∠C=∠D=∠AEB=90°，则∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°，所以∠BEC=∠EAD，可证Rt△AED∽Rt△EBC，由相似性质可得=，证毕.

（2）过点G作CD的垂线，设垂足为点M，如图4所示. 由（1）问可知=，因为=，=，所以=，则CB=GM.

在△BCH和△GMH中，有∠CHB=∠MHG，∠C=∠GMH=90°，CB=GM，所以△BCH≌△GMH（AAS），则BH=GH.

（3）如图5所示，在EG上取点M，使得∠BME=∠AFE，过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，推理可得∠EAF=∠BEM，可证△AEF∽△EBM，所以=.

进一步分析可知∠N=∠EFD，∠EDF=∠CEN，可证△DEF∽△ECN，所以=. 又知=，所以=，则BM=CN. 在△BGM和△CGN中，∠BGM=∠CGN，∠BMG=∠N，BM=CN，所以△BGM≌△CGN（AAS），则BG=CG.

3. 问题评析

上述以探究的形式呈现几何问题，分“感知”“探究”“拓展”三个阶段，其中“感知”阶段引导学生进行过程探究，总结证明方法，把握图形特点;“探究”阶段则是对模型的进一步深化综合，引入三角形全等进行论证;而最后的“拓展阶段”是对图形的拓展……