朱菊芳

摘  要：从数学学科的实质和人的思维本源角度来看待数学思想，可以将其进行不同的分类，教师应引导学生对数学思想产生切身的体验并在此基础上进行反思、总结、分享和交流，使学生能够在对数学思想的领悟中学会实际应用。

关键词：数学思想;视角;数学学科实质;思维本源

承载着数学文化实质与表现形式的数学思想是文化传承的重要内容，博大精深的数学思想在各个领域都得到了广泛的应用，小学数学教师应注重基本数学思想的渗透并初步帮助学生了解这些思想的内涵与实质，只有这样，才能令学生从小梳理数学思想应用的意识并对数学学习产生不一样的情感。

一、从数学学科实质所看待的基本思想

1. 抽象思想

数量和数量关系、图形和图形关系这两种内容的抽象即为数学抽象内容的本质，从数学的本质这一角度来看，这两种关系的研究即为抽象思想的主要应用 [1]。

小学数学抽象思想的应用离不开物理背景的支撑，是基于现实现象的对象与关系上的抽象，对现实数量进行抽象并得到“数”，是经常用到的，比如在“5个苹果”中抽象出“5”这个数等。“多”和“少”是数量关系本质上的体现，对其继续抽象即转化为数学内部的“大”和“小”的体现，“大小关系”这一本质得到抽象与具体之后又可以对“序的关系”进行抽象。“大小关系”基础上的“大一个”也使得加法由此产生，自然数与加法因此成为数学最基本的内容。

长方形的窗户、地板磚、手帕等都是小学生生活中经常见到的物体和物体形状，这里的“图形”就是在现实物体形状上的抽象，点、线、面由此成为几何内容中最为基本且重要的图形。

2. 推理思想

从一个或多个已有的判断获得新的判断的思维形式就是推理，演绎推理与合情推理是推理的两种形式。借助经验与直觉并在已有事实的基础上进行归纳、类比等，继而获得结果的过程叫作合情推理。在已有事实与确定的法则上进行符合逻辑推理的法则证明与计算即为演绎推理。一般来说，探索思路并获得结论是合情推理的作用，证明结论则需要运用演绎推理。三段论、选言推理、假言推理、关系推理等是演绎推理过程中最常用的几种形式。归纳推理与类比推理则是合情推理过程中最常用的形式，类比推理从某种意义上来说也是归纳推理。

合情推理，尤其是归纳推理在小学数学中的应用比比皆是。数、运算、图形等实质、性质以及规律的认识过程中都会用到归纳推理，为学生创造探索与发现的空间并使学生能够在已有知识、经验、想象力的基础上进行发现与创造就是合情推理运用的价值所在。

3. 模型思想

对于数学模型的定义，到目前为止并没有一个统一、准确的说法。一般来说，我们将用字母、数字、其他数学符号建立等式或不等式、图表、图象、框图等的数学结构表达式叫作数学模型，数学模型的建立都是为了某种目的达成而进行的客观事物特征与内在联系的描述。数学模型存在广义与狭义一说，任意的数、式、性质以及定律等都包含在广义的模型之内，将现实数学问题抽象成式子、方程、函数等数学结构指的则是狭义的模型。一般来说，对这一数学结构进行数学运算并获得答案的过程即为数学建模。

小学数学中的模型思想一般都是从广义的角度进行应用的。一般来讲，小学数学建模包含从现实问题到直观模型、从直观模型到抽象的算式模型、从抽象的算式模型到现实问题这三个层次，建模的过程中可以从任意一个方面进行考虑并向其他两个方面过渡。学生只有真正掌握了“有来有回”的建模过程，才能称为学会了“建模”。

二、从思维本源角度所看待的基本思想

分类思想、结构化思想、对应思想从人的思维本源角度来说也是特别重要且基本的数学思想，这些基本思想对于人类认识世界和数学发展的作用同样不可估量 [2]。

1. 分类思想

分类这一基本活动在人的一生中时刻都进行着，人一出生可以说就被分类了。不仅如此，人在随后的成长过程中也一直不断地进行着分类或者被分类的活动。揭示事物之间规律与内在联系的分类实际上包含着研究事物属性这一根本目的。无所不在的分类活动对于人类的影响广泛且意义深远，这种基本的认知活动实际上也是研究问题广泛使用的方法，被称为分类思想也就无可厚非了。

根据事物的形式和事物的实质都可以进行分类。事实上，形式与性质之间的相互依存也是研究事物所必须关注的，对事物进行分类之初尤为注重形式，这也是表象比内在更容易为人瞩目与把握的缘故。小学数学范畴内的分类思想在形式与实质上均有所涉及，但我们往往会从形式的角度进行分类，以促进学生对事物外显性质的把握，这对于更深层次的实质分类来说也是一种铺垫，学生由此进行的对事物本质属性的把握也会更加有意义。

分类应依据事物的性质这一标准进行，事物性质的多样性也决定了事物分类标准的多样性。分类研究过程中首先应明确研究目的并选择一定的标准进行分类，分类标准的选择因为研究目的的不同而不同。不过，值得注意的是，分类活动只要一旦确定分类标准，整个分类活动中就不应随时改变这一标准。小学数学中无处不在的分类思想一般表现在如下几个方面：

（1）教师给定唯一的分类标准并请学生分类。

（2）学生自主确定分类标准并进行分类，允许标准不同，但每次分类活动的标准应该具有唯一性。

（3）教师给定分类结果并请学生研究其中的分类标准，或者请学生在给定分类结果的基础上进行每一类的命名活动。

2. 结构化思想

形成结构并从结构的角度对事物本质的过程进行把握即为此处所讲的结构化。从无序、杂乱到有序、有结构是人的心理、学习需要、数学发展等多方面的需要。结构化这一基本的数学思想对人类认识世界和数学发展都极具意义，数学内容的研究都应首先对其结构进行归属，数学内容在结构上的准确定位能使研究者对其实质、关联的把握起到很好的作用 [3]。

例如，从结构角度对小学数学教材进行审视，不难发现教材包含了数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践等诸多方面的内容，这实际上就是数学内容呈现上的结构。再比如，从结构的角度来看待现实世界中的复杂数量关系，一般就是加法结构和乘法结构这两种类型，由此对应的便是差比关系与倍比关系，很多和倍问题、差倍问题、植树问题中存在的数量关系实际上都是差比关系与倍比关系的复合。

由于分类在事物结构的形成中起著重大作用，因此结构化和分类之间的关系是相当密切的，小学阶段更是如此。从某种意义上说，有序的集合结构就是在分类的基础上形成的。不仅如此，公理化也是结构化的重要表现形式，只是公理化方法在小学数学中暂不涉及罢了。小学阶段的结构化一般经历分类、解析、能区别的单位要素、组合等诸多方面。

3. 对应思想

对应这一人类认识世界的本源思想、朴素思想对数学发展以及学生的数学学习都有着积极的意义。每个对象都从属于某个集合或与某个集合相对应，例如每个学生既从属于他的家庭，又从属于他所在的班级等。

两个集合中元素之间的对应关系是对应思想最为主要的体现，一一对应关系尤其如此。事实上，小学数学范畴内的一一对应思想比比皆是，比如“自然数”的教学中，5个苹果在数字的抽象上对应的就是数字符号“5”。不仅如此，数的大小比较、无限集合元素个数的大小比较中也都有一一对应思想的应用，比如自然数集和偶数集合元素之间一一对应关系的建立就说明了这两个集合包含的元素在数量上是相等的;又如，令伽利略一直困惑的一道难题被康托利用一一对应思想顺利解决：自然数与平方数在个数上相比，哪个的个数更多？

数学思想与数学知识、解题技巧等相比，在教学的方式上必然是不同的，学生只有对数学思想存在切身体验与感悟并在此基础上进行反思、总结、分享和交流，才能获得数学思想的领悟与实际应用，否则渗透数学思想的教学只是一纸空谈。

参考文献：

[1]  黄晓学. 论思维生惑点与数学教学[J]. 数学教育学报，2007，16（2）：16-19.

[2]  朱桂凤，孙朝仁. 数学慢教育研究综述[J]. 江苏教育研究，2013，（7A）：47-50.

[3]  张景中. 数学与哲学[M]. 北京：中国少年儿童出版社，2011.