夏永立

摘  要：学具在学生的数学学习中发挥着重要的作用，能够让数学智慧在手指尖上“跳动”。为了激活学生的数学思维，开发学生的创新潜能。将“完整的数学学具”设计成“残缺的数学学具”，利用学具的残损，或者故意不提供给学生充裕的学具，引发孩子的数学思维，能够促进学生的深度学习。笔者尝试开发“残缺”的数学学具，从“帮助学生克服数学思维定式、引领学生经历数学学习过程、培养学生形成创新思维、发展学生问题解决能力”四个方面做了有益的探索，从而获得了新的研究启示，打开了学具研究新的“天窗”。

关键词：残缺;学具;深度;学习

一、研究缘起

长期以来，教师们一直都非常重视学具在数学课堂中的应用。然而，很多孩子在课堂中只是“操作工”，而并非真正的“探究者”，更难以激活孩子的创新潜能。这引起了笔者的思考：如何让操作更有效？怎样发挥学具更大的创新价值？……

“爱神”维纳斯之所以美，不仅仅在于她所呈现给我们的形体和微笑，而更在于其手臂的殘缺魅力。由此，笔者联想到数学学具。学具的价值在于通过操作与观察，能够激活学生的数学思维，开发学生的创新潜能。我们不妨将“完整的数学学具”设计成“残缺的数学学具”，利用学具的残损，或者故意不提供给学生充裕的学具，发挥其“残缺”之美，给学生创设想象、猜测、联想、假设、推理等数学思考和探究的空间，从而引发孩子的数学思维，能够促进学生的深度学习，让数学学习真正发生。

二、初步探索

通过开发“残缺”数学学具，改变了学生的学习方式，使学生乐于探索数学问题的起源和发展过程，更加关注数学本质，有利于学生形成正确的数学观念，有利于培养学生的创新精神和实践能力，有利于学生形成科学态度和良好的数学素养，从而最终为每个学生的可持续发展奠定良好的基础。

1. 开发“残缺”数学学具，帮助学生克服数学思维定式

在环境不变的条件下，思维定式使人能够应用已掌握的方法迅速解决问题。而在情境发生变化时，它则会妨碍人采用新的方法。消极的思维定式是束缚创造性思维的枷锁，会影响思维的发散性、灵活性的发展，使人们的思维在新的情境中难以灵活地思考，容易受到旧框的束缚，不敢越雷池一步。在教学中，笔者充分利用“残缺”的数学学具，克服思维定式对学生数学学习的消极影响，帮助学生正确掌握分析问题、解决问题的方法。

案例：“一把破尺！”（课题：认识厘米）

师：老师这里有一把破尺子（用手一拉，直尺的右面一部分被拉断了），能用这把尺子量吗？

生：能，起点“0”还在。

师：如果不够量呢？

生：两次。

师：如果尺子的这头又拉断了（出示直尺的两端都拉断了），起点“0”也没了，现在还能量吗？

生：能。

师：怎么量？

生：用“2”当起点。

师：请你用这把破尺来量一量这把小刀的长度。

生：左边是“2”，右边是“7”，从“2”到“7”是5厘米。

师：你是怎样想到5厘米的呢？

生：用7减去2，就得到了5个1厘米。

……

创设有趣的障碍情境：小明的尺子两次被拉断，结果成了一把名副其实的“破尺子”了。这个情境使学生的思考一步步地深入：破尺子还能量物体吗？先出示右端残缺的尺子，再出示两端都残缺的尺子，引导学生发现起点是可以自己定的。用这把破尺子量小刀的长度，让学生经历用“大数减小数”这一计算方法的形成过程。通过一次又一次设置思维障碍，帮助学生克服思维定式的消极影响，从而获得成功的体验，有效发展了思维的变通性。可见，只有摆脱原来思维的固定模式，调整已有的认知结构，建立新的认知方向，才能感受到数学思维的魅力。

2. 借助“残缺”数学学具，引领学生经历学习过程

“深度数学”并不是“高难度数学”，而一定要“深刻而不深奥”，让学生领悟蕴含在数学问题里面的深刻的数学思想和数学思维方法，体验数学的价值。这个过程不是教师牵着学生的“牛鼻子”，而是给学生提供一个数学学习的“渔场”，留足思维的空间与时间，引领学生自己去体验、感悟知识的形成过程。如教学“长方体体积”一课时，笔者给了几个1立方厘米的小正方体，让学生去摆出长方体。笔者有意让学生准备少量的学具，当学生感觉到自己手中的小正方体不够时，再适时引导学生自己设法解决问题。

案例：“小正方体个数不够怎么办？”（课题：长方体体积）

师：你能用手中的1立方厘米的小正方体，摆出体积是24立方厘米的长方体吗？

生：一共需要有24个1立方厘米的小正方体，我手中只有7个1立方厘米的小正方体，不够摆。

师：用手中的小正方体去摆长方体，个数不够怎么办？

生1：向别的同学借小正方体。

师：别人也要动手摆呀！

生2：我们同桌两人在一起合作研究。

师：你很善于合作。如果只用你手中小正方体独立摆，你有什么好方法？

生3：小正方体不够用，空些位置也行，只要分别沿着长、宽和高摆，就能够在脑中想象出长方体的样子了。

……

“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”，教师紧紧抓住“小正方体不够”“用更少的小正方体”为切入口，巧妙地借助“残缺”的数学学具，及时引领学生自己去探索长方体体积的计算公式，让他们体验建立数学模型的过程。

在这一教学过程中，教师让学生拼摆学具，由于小正方体的个数不够，给学生提供了更大的思考空间：怎么摆才能得出长方体的体积？摆不满的部分可以摆几个小正方体？只摆出长边、宽边和高就能得出长方体的体积吗？学生在解决这些富有挑战性的问题中，经历了体积公式的推导过程，发展了空间想象力。

教师由“剖腹产”到“助产士”，让数学知识自然“孕育”。可见，只有让学生的思维“留白”，才能让操作更能彰显其独特的思维价值。

3. 借助“残缺”数学学具，培养学生形成创新思维

学具作为教学活动的重要载体，既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，又要充分发挥它在培养学生的创新思维方面的功能。课堂是学生智慧飞扬的天地，只有鲜活生动的资源不断生成的课堂才是最有生命力的。作为一名教师，要善于借助“残缺”的数学学具，用一双智慧的眼睛去捕捉课堂上闪现的创新火花，使它成为一道亮丽的风景，让学生陶醉其中而流连忘返。

案例：“残缺的量角器也有用！”（课题：角的度量）

师：同学们都会用量角器了，谁来说说量角的方法？

生：量角器的中心和角的顶点重合，角的一条边和零刻度线重合，再看另一条边所在的刻度线的度数。

师：很好，可是这一把量角器损坏了。你能用它度量这个角吗？（许多学生摇头）

生：量角器断了，不和零刻度线重合也能量！

师：你是怎样想的？量给大家看看。

生：让一条边和90度的刻度线重合，角的顶点与量角器中心对齐，看另外一边经过几个刻度。

师：妙！这种方法很简单！

生：不一定要对准90度的刻度线，对准其他也行，只要看两条边之间的间隔度数就行了。

师：你还善于推广，真了不起！你能用这个残缺的量角器量出这个钝角的度数吗？

生：不行，这个量角器破损了，钝角的两条边不能和量角器的刻度线重合。

师：有什么办法可以量呢？

生：可以把钝角的一条边向反方向延长，量出这个锐角的度数，再用180度减去这个锐角的度数就可以了。（生鼓掌）

量角是一种基本的操作技能，学生往往在教师的演示、讲解中牢记度量的方法，然后不断地去模仿、巩固，这样的教学缺少必要的思维训练。如何让学生由“操作工”变成“探究者”？笔者借助一把残缺的量角器，让学生在量角的过程中不断感悟将待测的角与量角器的角重合，再从量角器上数出角的开口有几个单位（1°的角），这才是量角的“根本方法”。接着，笔者让学生用残缺的量角器去量钝角的度数，又一次创设了思维的障碍，将学生逼上“数学思考”的梁山。学生通过巧妙转化，另辟蹊径，创造性地解决了问题。这样，学生容易摆脱外在“方法”的束缚，甚至可以想出因地制宜的“方法”， 真正激发了学生的创新思维的潜能。在教学中，笔者巧妙地捕捉这一创新资源，让学生感悟量角的本质，取得了理想的教学效果。

4. 借助“残缺”数学学具，提高学生问题解决能力

在数学教学中，教师借助“残缺”的数学学具，给学生需要解决的问题提供思维的原动力，充分发挥数学经验的积极作用，让学生面对新的问题时能够主动尝试解决。

案例：“残缺的钟面！”（课题：圆的周长）

师：这里有一个残损的钟面，你能求出原来钟面的周长吗？

生：找不到这个钟面的圆心，也无法量出它的半径，不能求出周长。

师：谁有巧妙的方法可以算出原来钟面的周长？

生：用细线量出刻度“6”到刻度“8”这一段弧线的长度，它刚好是原来钟面周长的六分之一，就可以顺利求出来。

……

维纳斯的断臂的美，就在于让人产生无穷无尽的想象的空间。留下空间让审美者用自己的心灵和感受去填补空白，这恐怕就是断臂所带来的残缺之美的妙处。笔者通过给学生一个残缺的钟面，创设了一个“不知道钟面的半径，怎么算出完整钟面的周长”的问题情境，促使学生充分利用已有的經验解决实际问题。学生主动地、创造性地投入到知识的发展、延伸过程中，尝到了发现、创新的乐趣，感受到了创新的魅力。学生在数学学习过程中有了这种数学活动经验的积淀，就会形成良好的数学素养。

在教学中，教师要善于制造冲突，让学生在面对新的数学问题时，能够调动已有的数学学习经验，从常规的解题模式中“跳”出来，具备真正的数学问题解决能力，才能够形成良好的数学素养。

三、研究启示

如果说断臂的维纳斯给人带来了审美的享受，那么，“残缺”的数学学具给学生带来了思维的快乐，将数学“冰冷的美丽”转化为“火热的思考”。“残缺”数学学具的开发与应用，给数学教师带来了创新的思考。

1. 要进行“二度开发”，发挥创新价值

“残缺”数学学具的开发与应用，给数学教师带来了创新的思考。学具的价值不在于其表面呈现形态的好看与否，而在于它能否引发学生的好奇感，激发学生的数学思考，培养学生的创新意识，提高学生问题解决的能力，从而促进学生的长远发展。因此，在教学中教师要独具慧眼，大胆对学生常见的学具进行“二度开发”，从而挖掘学生数学学习的潜能，达到理想的教学效果。可见，教师只有做一个教学的“有心人”，勤于思考，敢于突破一般思维的局限，善于发现和设计，才能真正发挥其独特的创新价值。

2. 要创新教学设计，形成研究系列

“残缺”学具的利用是一个很好的研究视角，要进行有系统、持续的研究。让我们长期关注一个问题，在一个点上突破，这样可以达到举一反三的效果。教师可以再深入研究如何在恰当的时机利用非常规的学具和教具提升教学，找寻规律，使之具有更广的适用性。因此，教师要创新教学设计，用研究的眼光来审视教学，不断提高课堂教学质量，发挥课堂的最佳效益。在教育教学活动中，只有教师具有强烈的创新意识，才会有意识地去关注学生创新能力的培养。

很难想象不会创造的教师可以教出具有创造才能的学生，高明的教师总是用自己非凡的创造力去培养更有创造力的学生。因此，教师在教学过程中要不断地提升自身的创新教学设计能力，以此来带动学生创新意识的发展。

可见，我们要根据小学数学教材内容，进行“残缺”数学学具的开发和应用，让它在课堂中有“一席之地”，真正激活学生的创新潜能，发挥好它在学生数学学习中的创新价值。

3. 要生产“残缺”学具，推广研究成果

在课堂教学研究中，笔者发现常规的数学学具不利于发展学生的创新思维，就建议学具生产部门在研发和生产数学学具时，可以摆脱“标准式”学具的束缚，生产出一批“残缺”的数学学具。

在许多家庭中，将功能相近的家具“组装”在一起，就形成了“组合家具”。在“组合家具”的启发下，笔者萌发了可以生产研发出“活动抽拉式”学具的想法。这样，教师就无须亲自制作“残缺”学具，可以从繁重的学具制作中解放出来，减轻了教师亲自制作所花的精力和代价;学生在课堂中使用起来也很便捷，不需要损坏现成的学具，可以降低成本，减轻了他们的经济负担。比如，在生产直尺和量角器时，只要运用“抽拉”，可以使其成为“残缺”的数学学具，还能将其“还原”成原形。这样，每位学生手中都有常见的“残缺”数学学具，可以便于使用，让每个学生都能亲自参与操作，真正发挥好它的作用。

如果学具研发部门能够生产出一大批“组装抽拉”式学具，必将引发出一场学具生产的“变革”，可以更好地促进学生进行“深度学习”，对课堂革命产生深远的影响，让更多的学生发展受益。