仇学春

摘  要：为什么学生一遇到题干比较长，信息比较多的题目就容易出错？看来是缺乏一些数学关键能力。数学阅读、思考、表达是最基础、最核心的能力。强化数学阅读，鼓励数学思考，学会数学表达，使学生数学关键能力落地生根。

关键词：数学;关键能力;培养策略

一、数学关键能力的现实需求

为什么学生一遇到题干比较长，信息比较多的题目就容易出错呢？我们到底需要培养学生哪方面的能力呢？下面笔者就培养学生数学关键能力谈谈自己的思考。在一次测验中，有这样一道题：

人们提倡“低碳生活”。据估计，1公顷落叶阔叶林每年可以吸收14吨的二氧化碳。如果一台空调的冷却温度从26℃上升到27°C，相应的年二氧化碳排放量减少21公斤。在某个城市，一年减排量相当于27000公顷全年吸收二氧化碳的落叶阔叶林;如果每个家庭按3台空调计算，这个城市有多少万户人家？

这道题参加测试的有54人，其中做对的只有33人，做错的21人中有14人是不会分析数量关系的，有7人没有读懂题目！错误原因有以下三点：

1. 信息提取不足。由于这道题信息量比较大，条件也比较多，学生在阅读时读了前面忘了后面，没有做的7位学生反馈也是这个原因，觉得信息比较多，不知道选择哪几个条件去解决问题，不会提取解决问题所需的信息。这反映出学生还需要加强数学阅读，提升对数学信息筛选与提取的能力。

2. 条理分析不清。要解决一个问题，就要有整合信息的意识和能力，删除一些明显的无关信息（温度从26°C升到27°C），然后抓住27000公顷落叶阔叶林全年吸收的二氧化碳的重量，即27000×14=378000吨，将吨转化为千克，再除以3×21千克，问题即可得解。学生在分析的过程中明显条理不清，方向不明，缺乏有条理的分析和思考。

3. 自我表达不畅。要想解决这道题，关键要先计算出27000公顷落叶阔叶林全年吸收的二氧化碳的重量。学生不知道怎样表达这道题的数量关系，在头脑中没有形成一个逻辑结构的整体，对问题和信息的理解缺乏外在表征，更谈不上用自己喜欢的方式去表达了。

这里的信息提取不足主要是缺乏阅读与理解的能力，条理分析不清主要是缺乏分析与思考的能力，自我表达不畅是缺乏概括与表达的能力。所以，在我们的教学中加强阅读、思考、表达等关键能力的培养迫在眉睫。

二、数学关键能力的内涵特征

在“关于全面深化课程改革和实施立德树人基本任务的意见”中，教育部将核心素养定义为“学生应满足终身发展和社会发展需要的必要品质和关键能力”。“从学习过程（认知加工）的角度来看，学生的学习能力分为阅读能力（输入）、思维能力（加工）和表达能力（输出）三种，这三种能力是学生学习的基本能力、核心能力，具有基础性、共同性、关键性特征，其他能力如创新能力、研究能力、设计能力等都是建立在其上的。所以我们必须弄清楚阅读、思考、表达能力的内涵特征，在教学中明确培养方向。

1. 阅读能力。阅读是看书，看并领会其内容。数学阅读主要是对信息的选择、组合和联想，通过阅读达到理解题意的目的。我们平常所说的“粗心”“审题不清”就是缺乏阅读能力的表现。数学阅读能力的培养，正是以培养学生理解能力、语言表达能力、自主学习能力为目的的。所以说，阅读能力是最基础、最关键的学习能力，它直接决定了学习的质量和学习的效率。

2. 思考能力。思考是一种深刻而深思熟虑的思维活动。首先，思考是有根据的思维。它是以已有知识、生活实例、大量数据作为依据进行分析和思考的。其次，思考是有条理的思维，即在思维的过程中有序、有逻辑、有系统，一般无序的思维就不是思考。最后，思考是有深度的思维。也就是思维的方式、方法、进程和对象具有深度，有深度的思维能够使用结构化思维，应用模式进行快速思考。

3. 表达能力。它是指一个人把自己的想法、观点、意图等，用文字、语言、图形等清晰明确地表达出来。数学表达能力就是把自己内化了的数学知识，用数学语言（文字语言、图形语言、符号语言）传递给他人，并且与学习伙伴在互动和反馈过程中完善自己的认知，便于他人理解、体会和掌握。可以说，表达能力是学习能力的最高体现和综合反映。

三、数学关键能力的培养策略

（一）强化阅读，指向数学理解能力的培养

数学阅读，是指对数学材料进行数学化分析（信息提取、转译、内化），形成并表达自己数学观点的过程。数学阅读能力的培养要实现两个目标：一是发展学生数学学习的良好品质;二是发展学生数学学习的关键能力，特别是信息提取与理解的能力、数学抽象与建模的能力、数学表达与交流的能力等。

1. 信息提取，理解关联数据

信息抽取是把阅读材料里包含的信息进行结构化处理，利用表格、画图等方式把有关联的问题和条件整理出来。數学阅读要引导学生关注材料中的情境叙述，通过读思结合，理解关联数据。在教学苏教版六年级上册《比的应用》时，把30个方格涂上红色和黄色，使红色与黄色方格数的比是3∶2。两种颜色应各涂多少格？让学生画图理解“红色与黄色方格数的比是3∶2”。有的学生画了30个正方形，把方格总数平均分成5份，其中红色方格占3份，黄色方格占2份。有的学生画了线段图，平均分成5份，红色方格占总数的，黄色方格占总数的。学生根据3∶2这个信息，联系了除法和分数的知识，运用画图的方式理解了按比例分配的意义。

2. 信息转译，丰富数学表象

数学来源于生活，在解决实际问题中把众多的信息转化成数学语言，让学生经历知识的发现、发展、变化的过程。学生在信息阅读、转译中形成数学表象，经历数学化的过程。在教学《圆的认识》时，为了认识圆的各部分名称，基于学生对半径和直径表述的困难，教师提供了下面的阅读材料：“画圆时，针尖固定的一点叫作圆心，通常用字母O表示。连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。”学生在阅读中思考：什么样的线段是半径？什么样的线段是直径？结合画圆的过程，思考圆心、半径、直径的意义。在这里，读是手段，思是目的，在阅读中认识圆的各部分名称，形成了圆的表象。

3. 信息内化，走进数学文化

数学史料是数学文化融入数学课程最好的标准载体，数学史知识能够丰富学生对于数学文化的理解和领悟。让学生阅读数学史料，说出对其中知识的理解，感受数学的方法，体会数学的思想，领悟数学的精神，这正是一个数学“文”“化”的过程。教学《认识比》时，这样教学黄金比：

（1）人体中的比例：我们的脚的长度与高度之比约为1∶7，人的高度与臂长的比例约为1∶1，一个人的下半身与全身的高度之比为0.58∶1。根据人体中的比释疑：“芭蕾舞演员跳舞的时候为什么要踮起脚尖呢？”

（2）出示：通常人的下半身和身高的比值是0.58，芭蕾舞演员在表演时踮起脚尖，身高就可以增加6-8cm，这时比值就接近黄金比0.618了，这是最完美的人体。

（3）根据黄金比，你认为老师站在台上的哪个位置最合适？

数学史的渗透不是单纯的一个“黄金比”的介绍，而是黄金比的有效推介与开掘，分为三个层次，第一个层次照应开始的情境，让学生了解“人体中的比”;第二个层次用一个问题引出黄金比;第三个层次利用黄金比的知识解释生活中的现象。让学生阅读数学史料，无疑是数学文化走进数学课堂的重要载体。

（二）鼓励思考，指向数学思维能力的培养

史宁中教授指出：“数学核心素养概括为——会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。而数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是模型。”抽象、推理、模型是数学的基本思想，是指向数学学科的关键能力。

1. 让学生拥有数学的眼光。在数学学习中，思维能力主要表现为提问的能力，包括发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。让学生拥有内涵更为丰富的数学眼光，用数学的眼光观察现实世界，我们的数学教学将更有价值、更有生命活力。记得有一个学生叫吴越，在学完简单的统计后，他就特别留意北京西路与玉泉路的十字路口的红绿灯时间的长短，每天上学小吴越和送她的爸爸都是跑着过马路的。跑了一年多，小吴越觉得“真麻烦”，于是提笔给交警叔叔写了一封信，希望将绿灯时间放长一点。没想到，吴越的这个建议居然被采纳了。从此，小吴越和她的同学们再也不用跑着过马路了。其实当孩子拥有了内涵更为丰富的数学眼光后，统计便不再只是一个数学知识，而是一种数学思想方法了。

2. 让学生拥有数学的思维。鼓励学生遇到实际问题时主动搜寻证据，用数学的思维方式去解决生活中的实际问题。班上有个叫刁逸群的孩子，他在自己的小博士论文中讲述了一个生活中的故事，就是用鸡兔同笼的现象来解释商场里的促销活动。商场现拿出19000元现金进行抽奖返还活动。凡购物满2000元者，都有机会参加抽奖活动。抽中一等奖，现场返还现金2000元，二等奖返还现金500元，三等奖返还现金100元。一共100个中奖名額，前100名幸运顾客100%中奖。然后，他就用假设的方法分析出100名获奖者中只有2名一等奖、13名二等奖，而三等奖占了85个。所以，他建议已购物1580元的妈妈不要再为了100元的奖励去花四百多元钱了。

3. 让学生拥有数学的语言。用数学语言表达的过程就是建立模型的过程。学生在探索数学问题时，应鼓励他们用自己的语言个性化表达数学知识。教学《比例的意义》时，学生也举一个比例的例子，如4∶2=6∶3，5∶1=10∶2等，这样的例子能举完吗？能不能用一个式子概括一下，学生想到了用字母表示：a∶b=c∶d。学生用自己的方式表示了比例。学生用直观的数学理解，渗透数学模型思想和符号化思想，从关注知识到关注思维和方法，从而着力挖掘“简单”背后的“深刻”。

数学是思维的体操，培养学生的思维能力是一个长期坚持的过程。首先，让学生进入思考的状态。通过一些有趣的情境引起学生对这个问题的高度关注，比如在学习《平行与垂直》时，一起参与玩拨棒游戏，从而关注两根小棒的位置关系。其次，思考时要放任自由。某些最具原创性和最有趣的想法，是在我们能有“跳出框框”进行思考的自由下产生的，要允许学生不按照常规思考。最后，明白讨论的重要性。讨论在思考的发展中起着绝对作用，讨论使学生习得了众多重要技能，通过综合许多不同的意见形成一个思想，学会如何清晰地组织自己的观点和思路。

（三）大胆表达，指向数学语言能力的培养

数学表达，指将文字、符号、图像等书面或口头表达作为媒介，进而可以理解数学对象、交换思考过程、解决问题的语言活动。鼓励学生在探究、交流、反思时个性化表达，根据自己的思考和想法大胆表达自己对知识的理解和困惑。

1. 多元表征促表达

探究新的知识时，鼓励学生自由联想、多元表征，表达自己的想法，促进个性化的思考。教学百分数时，通过研究，老师的投篮命中率为40%，放手让学生进行个性化的表达。“联系以前学过的知识，在学习单上用你喜欢的方式（画图、举例等）表示出40%，在小组里交流自己的想法。”

（1）交流举例的方法

生1：投了10个，投中了4个，用40%表示。

生2：投了20个，投中了8个，用40%表示。

生3：投了100个，投中了40个，用40%表示。

追问：为什么投中数不同，投篮总数也不同，都可以用40%表示？

生：这里都表示投中的个数占投篮总数的百分之四十。

（2）交流画图的方法

只要放手让学生去研究，不管是举例还是画图，学生都能各自表达出对百分数的思考：虽然投中数不同，投篮总数也不同，都可以用40%表示，百分数在这里不表示具体的个数，而是表示一种倍数关系。同时，通过画图，学生还表达出百分数和分数之间的联系和区别。

2. 自主交流促表达

数学表达，其互动方式可表现为：“我补充”“我提问”“我发现”“我质疑”“我解释”等。学生间的数学表达犹如搅动的内在矛盾，像一个推手将课堂上的孩子们不断地推向思维的巅峰，享受思考的快乐。

首先，交流是在每个孩子的独立思考基础上进行的。在完成好自己的独立思考后，每个孩子把自己的思考和其他孩子进行交流。

其次，交流的方式可以多样。可以是一个孩子对全班交流，让别的孩子补充、提问，不断完善他的思路;可以是把自己的思考和同桌交流;也可以是把自己的思考在四人小组里交流;还可以是在同桌或四人小组交流的基础上对全班交流。

再次，交流带给大家的思考可以互动。孩子在发表自己的观点时，可以请同小组其他孩子进行补充或提问;也可以请全班其他孩子补充或提问。

最后，交流的媒介可以多样。可以站在自己的座位上;可以带着自己思考完成的作品在老师的实物投影仪上;可以把自己的作品写在黑板上;也可以把自己的思考写在小本子上。自己带着作品和其他同学进行交流，这样在视觉和听觉上孩子的信息能够迅速、合理地沟通。

3. 回顾反思促表达

每节课都要重视回顾反思，每节课让学生自我回答这些问题：这节课研究了哪些问题？掌握了哪些知识？学到了哪些方法？哪些方法还需进一步改进？今天我最大的收获是什么？让学生在反思卡上记录自己的思想变化、活动方法和过程中的困惑、收获以及各种感受，有助于培养学生的自我反思意识和自我评价能力。

教学“百分数的实际问题练习”时，涉及的知识点比较多，应用面比较广，学生掌握得不太好。笔者通过提问题的方式让学生理解百分数实际问题的知识。“六（2）班男生25人，女生20人，___________？”，请大家根据上面给出的条件提一个问题，成为一道百分数应用题，并列式解答。学生提出了六个不同的問题：男生是女生的百分之几？女生是男生的百分之几？男生是全班的百分之几？女生是全班的百分之几？男生比女生多百分之几？女生比男生少百分之几？然后把这些问题进行分类。通过提问题这样开放的方式，不但把需要练习的几种形式通过提问题的方式一一表达出来（特别是有一个学生把这些问题概括为一类，沟通了知识之间的联系，也更加深刻地理解了百分数的意义），而且在练习中把求合格率、打几折的问题也归为这一类，完善了自己的认知结构与经验系统，激发了学生的问题意识。

数学关键能力即通用能力、普适性能力，它指向人的一般发展。数学中的阅读、思考、表达是最基础、最关键的能力，新课程倡导的自主、合作、探究能力都是建立在它们之上的，发展好这三种能力，其他能力的发展才能水到渠成。