冯依形

【摘要】本文将从高中数学中的换元法概况出发，对高中数列中换元法解题技巧、应用进行分析与探究，希望为同处高中阶段的同学提供一些帮助和建议，更好地将换元法运用到数列学习之中。

【关键词】换元法;数列学习;高中数学

引言

在高中阶段，数列知识的学习不但是数学知识的重点、难点内容，更是高考考查的热门题型，掌握有效的数列学习方法，能够利用多种方法对通项公式进行推导至关重要，换元法对于我们的数列学习就是一个很好的方法，研究其应用具有现实意义。

一、在高中数学中的换元法概况

当数学因式分解题型相对复杂的时候，我们经常会使用换元法进行解答，也就是说，对于结构相对复杂的一个多项式，若将一部分当作整体来看待，然后进行换元（即使用全新字母替换），那么复杂问题就会变得相对明朗、简单，发挥着简化多项式的结构、缩减多项式的项数等多种作用。一般来讲，换元法又被称作变量替换法、变元代换法、辅助未知数法等，是重要的解答数列题型的方法，在高中数学中非常普遍，其意义在于变难为易、变繁为简、将高次变成低次、将分式变成整式、将无理式变成有理式、将超越式变成代数式，不仅大量应用于数学数列，还被应用到三角、函数、不等式、方程等高中数学问题中。

二、在高中数列中换元法解题技巧与应用

（一）换元法的种类

通常来讲，我们在高中数学中使用的换元法一般包括整体换元与三角换元。其中，整体换元即以元换式，指的是在未知、已知之中，反復出现某一代数式，通过一个字母对其进行替代，使问题得到简化，部分时候要借助变形才可发现。而三角换元即以式换元，主要用在去根号、变换成三角形式容易解答的时候使用代数式里和三角知识的关联进行换元。除此之外，换元法还包括万能换元、均值换元、对称换元等多个种类，在数学题解答中具有非常广泛的应用。

（二）数列解题的技巧

首先，没有规律的数列求和技巧。在多种数列的数学问题中，我们经常会遇见一些数列题型不存在特定规律。乍一看该数列题不能发现任何的规律性，既非等比数列也非等差数列，不过，若拆分该数列，那么就能够找到数列中所蕴含的规律，我们应学会正确的数列拆分方式，然后获得等比数列或者等差数列并运用相应计算方式。

其次，注重数列基础概念知识。我们能遇到的数列题型中，数列的知识点作为考察重点经常出现，主要包括数列的定理、基础的公式等。历年高考数学试题中对通项公式的考察居多，能够借助相关公式对结果进行直接计算，这要求我们应更加透彻、更为清晰地学会与掌握数列基础性的概念知识。

（三）换元法在数列中主要的应用

由于数列相关的数学题会考察解题技巧、基础知识等多个方面，因此我们解答数列的题型时最好尽可能多地掌握解答技巧。作为重要的数学解题方法，换元法就能够统一地化简复杂数列，为了更好地将换元法应用到数列之中，我们应从以下几点入手：

首先，借助换元法付题目的形式进行简化。换元法能够统一地处理问题里相对繁琐的数列形式，让问题呈现出更为简洁的形式，使我们在解答过程中的错误尽可能地减少与避免，有效增加了题目解答的质量。

其次，借助换元法对数列解题过程进行简化。高中数学试题不但会考察数列基础的概念知识，还会以此为基础对更为复杂的题型进行考察，有时也会使用叠乘、叠加等途径考察学生掌握的数列知识，这种题目会对通项公式有很多的设计，我们进行解答的过程中经常不知道从哪里入手，于是就使题目解答的难度有所增加。例如，有一个数列{an}，该数列中的a₁为-1，并且a_n+1-a_n等于a_n×a_n+1问{an}这个数列的通项公式是什么。解答该题就可以充分利用换元法化简解题的过程，我们可以采用这样解题思路：因为a_n+1-a_n等于a_n×a_n+1，所以，我们将1/a_n设成b_n，那么{b_n}这个数列则为将b₁=-1当作首项且公差d为-1的一个等差数列，所以b_n=-1+（-1）×（n-1）=-n，所以a_n=-1/n。于是这道题就简单地解答了出来，需要注意的是，此题的解答重点在于将1/a_n设成b_n，然后对{b_n}这个全新数列进行构造，然后借助b_n通项公式对a_n通项公式进行求解。

最后，借助换元法表现问题的本质。为了有效解题，我们就应明确考察的是何种知识点，这样在题目解答的过程中才能更好i也弄清题意，针对性地解答题目，寻找适合的解答方法，不过在具体解答的过程中有时遇到的数列形式极为繁琐，容易误导我们解题的思路，这时我们就应借助换元法来化解当前题目的结构，更为清楚地展现出问题的性质。

结语

总而言之，研究高中数列中换元法解题技巧与应用具有十分重要的意义。作为高中生的我们，应对高中数学中的换元法概况有一个全面认识，了解换元法的各个种类，掌握数列解题的技巧，学会借助换元法对题目的形式进行简化、对数列解题过程进行简化、表现问题的本质，从而更加快速、便捷地解答数学数列问题，提高数学学习的效率，有效提升考试成绩。

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