吉宏军

[摘  要] 几何最值问题以求解相关最值为表象，以研究几何点的位置关系为本质目的，解题时可以合理地构建隐形圆，利用几何圆的相关性质来求解. 本文以一道几何最值问题为例，探讨解题方法，与同行交流学习.

[关键词] 几何最值;隐形圆;构建;性质

考题呈现

题目：图1所示的四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12.

（1）在图a中，点M位于四边形的边AD上，试求△BMC的面积;

（2）在图b中，问是否可以在四边形的边AD上取一点P，连接BP，CP后，使得cos∠BPC的值最小？如果可以，请求出此时的值;如果不可以，请写出理由.

解法探讨

从问题的本质来看无非就是要找到一点P，使得∠BPC最大，分析发现点P在AD上移动的过程中仅PC，PB的长度发生了变化，而BC的长度并不变，可以联想到几何圆上动点对定弦的情形，同样是点动过程对应的弦长不变，因此可以构造隐形圆，用以研究∠BPC的大小，进而确定cos∠BPC的最小值.

如图3所示，作BC的中垂线PQ，交AD于点P，交BC于点Q，连接PB，PC，再作△PBC的外接圆，圆心O一定位于垂线PQ上，在其上记一点O.

为研究此时点P为最小值点，即对应的∠BPC最大，再在AD上作一点P′，连接BP′，P′C，设BP′与圆交于点M，连接CM，因为∠BPC和∠BMC均对应BC，则∠BPC=∠BMC，另外分析可知∠BMC>∠BP′C，则有∠BPC>∠BP′C，所以异于点P的点P′形成的∠BP′C小于∠BPC，即此时的点P就是cos∠BPC获得最小值的点.

本题目的第（1）问和第（2）问之间不仅在问题形式上存在一定的联系，均是基于同一四边形进行的设问，在解法上同样存在一定的联系. 第（1）问需要构造出直角三角形，利用面积公式求解，这里的构造思想同样为第（2）问做铺垫. 对于第（2）问，利用三角形……