吉宏军

[摘  要] 几何最值问题以求解相关最值为表象，以研究几何点的位置关系为本质目的，解题时可以合理地构建隐形圆，利用几何圆的相关性质来求解. 本文以一道几何最值问题为例，探讨解题方法，与同行交流学习.

[关键词] 几何最值;隐形圆;构建;性质

考题呈现

题目：图1所示的四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12.

（1）在图a中，点M位于四边形的边AD上，试求△BMC的面积;

（2）在图b中，问是否可以在四边形的边AD上取一点P，连接BP，CP后，使得cos∠BPC的值最小？如果可以，请求出此时的值;如果不可以，请写出理由.

解法探讨

从问题的本质来看无非就是要找到一点P，使得∠BPC最大，分析发现点P在AD上移动的过程中仅PC，PB的长度发生了变化，而BC的长度并不变，可以联想到几何圆上动点对定弦的情形，同样是点动过程对应的弦长不变，因此可以构造隐形圆，用以研究∠BPC的大小，进而确定cos∠BPC的最小值.

如图3所示，作BC的中垂线PQ，交AD于点P，交BC于点Q，连接PB，PC，再作△PBC的外接圆，圆心O一定位于垂线PQ上，在其上记一点O.

为研究此时点P为最小值点，即对应的∠BPC最大，再在AD上作一点P′，连接BP′，P′C，设BP′与圆交于点M，连接CM，因为∠BPC和∠BMC均对应BC，则∠BPC=∠BMC，另外分析可知∠BMC>∠BP′C，则有∠BPC>∠BP′C，所以异于点P的点P′形成的∠BP′C小于∠BPC，即此时的点P就是cos∠BPC获得最小值的点.

本题目的第（1）问和第（2）问之间不仅在问题形式上存在一定的联系，均是基于同一四边形进行的设问，在解法上同样存在一定的联系. 第（1）问需要构造出直角三角形，利用面积公式求解，这里的构造思想同样为第（2）问做铺垫. 对于第（2）问，利用三角形外接圆来构建隐形圆，利用圆的诸多性质，如同弧所对圆周角和圆心角的关系，直径对角的平分关系等，可以准确确定点P的位置，建立cos∠BPC的求解方程. 隐形圆的引入不仅可以确定点P的最佳位置，在求解对应角的余弦值时也起到了关键作用，它对于问题的高效求解有着至关重要的作用.

解法拓展

构建隐形圆是求解几何距离最值问题较为常用的一种方式，可以有效确定点的位置. 上述的求解核心是构建隐形圆，利用隐形圆内角的性质来确定最值点，采用的构建方式是作三角形的外接圆. 有时对于同一问题需要采用不同的方式來构建隐形圆，另外最值点的确定还可以依据圆的其他特性，下面将结合实例详细探究.

如图4所示，已知菱形ABCD的内角∠ABC=60°，AB=2，有一点P，位于菱形的边上或内部，现以点P，B，C为三角形的三个顶点作一个等腰三角形，试求P，D两点之间的最短距离（点P，D不重合）.

分析  以P，B，C为顶点作等腰三角形，总体上存在三种情形，①PB=PC，即点P为等腰三角形的顶点，BC为底;②BC=CP，即以点C为等腰三角形的顶点，PB为底;③BC=PB，即以点B为等腰三角形的顶点，PC为底. 作等腰三角形可以以三角形的顶点为圆心，以腰长为半径构造隐形圆，则点P就在圆上，然后利用几何性质来判断线段最短时点P的具体位置.

②当BC为等腰三角形的腰，点C为顶点时，以点C为圆心，BC长为半径画圆，如图6，此时点P位于圆上，可以满足BC=CP. 根据圆的几何特性，当点P位于CD所在直线上时，PD可以取得最值，与点D为同一侧时取得最小值，但由于CD=BC，此时会出现点P与点D相重合的情形，因此不满足条件.

上述题目同样是利用隐形圆来进行解题的，所不同的是由于腰长的不确定使得所作等腰三角形具有多种情形，因此需要分类讨论，同时也涉及隐形圆的多种作法. 利用三角形的外接圆、利用等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，其理论依据都是圆上一点到圆心的距离相等的性质. 而在利用隐形圆进行最值点确认时，利用的是圆上点的距离特性，即两点之间获得距离最值时其连线必过圆心.

解后启示

1. 立足综合观点，处理基本问题

上述涉及的两道几何最值问题，均是以基本的几何图形为框架，以点的移动为依托来研究距离的最值，其中涉及基本的几何图形，如四边形、菱形、三角形等，题1还综合了三角函数、题2综合了等腰三角形作图，因此可以将其视为几何综合题. 无论问题的形式如何，求解的过程都必须依据几何性质进行条件和问题的分析. 因此，对于越加注重知识综合的考题，掌握求解综合问题的方法越发重要，而建立知识之间的联系，实现知识融合，构建完整的知识体系是求解综合题的前提. 另外，对于解综合题的策略形成，强化基本问题的求解方法是关键，将综合问题拆分为多个简单的基本问题，通过对单一问题的分析来获得求解思路，即形成“拆分综合问题，基本方法逐一破解”的解题策略.

2. 构建特殊图形，巧用几何性质

上述题目的求解虽使用的几何性质不同，但都用到了同一解法——构建隐形圆. 一般意义上来讲构建隐形圆不是一种解题方法，而是问题分析的一种辅助工具，即利用几何圆的特殊性质来解题，但正是圆的一些特殊性质，使得动点的确定变得有迹可循. 问题形式是多样的，同样的解题方法也应灵活选择，尤其是几何与代数相结合的问题，应根据问题的条件进行数形结合，巧妙使用几何性质，结合构造、转化、方程等思想进行解题. 如利用构造思想构建特殊图形，在使用时需要充分掌握几何的一些特殊性质，如圆上各点到圆心的距离相等，角平分线上各点到角两边的距离都相等，这些特殊性质都是研究问题模型的基本依据. 另外，建立几何模型后还需要巧妙结合几何性质来对问题进行研究，实现“性质建模”到“性质分析”的双向过渡，利用模型与性质的双重优势破开几何最值问题的思维壁垒.

总结

几何最值问题实际上就是研究几何点、线之间的位置关系，求解的关键就是建立一个研究相关元素的几何模型，由点之间的线段最值来研究几何的距离、面积、三角函数、角度的最值. 根据问题条件，结合几何性质构建隐形圆是其中较为常用的一种方式，有助于确定满足条件的点的位置，为后续的分析提供帮助.