顾为云

[摘  要] 数学文化题是中考的新题型，问题以古典著作为背景，融合了数学知识内容和思想方法. 本文以近几年的中考题为例，分析问题形式，探讨解题策略，与读者交流学习.

[关键词] 数学文化;中考数学;定理;证明;拓展;应用

近几年的中考中，出现了众多以数学文化内容为背景的考题，该类考题具有情感熏陶和知识考查的双重功能，理解和学习数学文化题有助于学生了解数学的发展历史，深刻理解数学的知识内容，下面将详细解读中考数学中的文化类考题.

对著作问题的解析

在古代数学著作中涉及众多的问题，以著作问题为背景，用现代数学语言求解是中考中数学文化的典型问题. 该类题一般给出古语问题以及译文，需要学生理解问题信息，探寻解题思路，主要考查学生相应的数学知识.

例1  （2018年泰安卷第17题）《九章算术》是中国传统数学最为重要的著作，在“勾股”章节有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”

用今天的话翻译，大意为：如图1所示，DEFG为一边长为200步（“步”为古代长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出去东门15步远的点A处有一树木，试求出去南门多少步可以恰好看到位于点A处的树木（即点D位于直线AC上）？请计算KC的长为_______步.

赏析  本题来源于古代数学著作《九章算术》，属于平面几何问题，解题的重点在于结合几何图形理解著作译文，从中提炼关键条件，然后构建解题思路. 本题目涉及三角形相似和相似性质等几何知识，由图形相似构建线段对应关系来完成求解.

对著作问题的模型构建

构建古代著作问题的研究模型是中考数学较为常见的考题，该类题一般给出著作问题的相关译文，要求利用现代数学思想建立研究模型，最为典型的问题是利用方程思想，建立解决问题的方程组.

例2  （2018年广州卷第8题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等 ，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”大致意思是：甲袋子中装有黄金9枚（每枚黄金重量相等），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相等），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？如设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可得（）

分析  由选项可知本题目需要根据著作的信息条件列出求解方程，即建立问题研究的数学模型，属于二元一次方程实际应用题. 解题的具体思路是：依据方程思想，从题干信息中提炼等量关系，然后将其用数字符号表示.

解答  黄金9枚=白银11枚，即总质量相等，可得9x=11y.

赏析  本題目同样来源于数学著作《九章算术》，需要依据问题信息构建求解的二元一次方程组. 基本解题策略是理解问题信息，从中提炼等量关系，将其转化为对应的数学语言，并用数学符号表示，是方程思想的应用.

对著作定理的推导证明

著作定理的推导证明题一般以古代数学定理为背景，以完善定理证明过程为出题形式，主要考查学生解题的思维过程. 解题时首先需要理解定理证明的思维方法和构建思路，然后结合问题信息探求证明条件，几何定理的证明是其中最为常见的问题.

例3  （2017年北京卷第20题）数学家吴文俊院士非常重视我国古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任意一点作它的两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形的面积相等（如图2所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理还原了《海岛算经》的九题古证. （上述材料来自于《古证复原的原理》《吴文俊与中国数学》和《古代数学泰斗刘徽》）

请根据图2完成该推论的证明过程.

分析  本题目要求证明古法定理，是关于四边形面积相等的问题，考查的是四边形面积的计算和图形分割知识. 由题可知，具体证明思路是：利用割补法，将其分割为几个小三角形的组合，然后分别证明对应小三角形面积相等. 因此证明过程的第一步是对矩形的面积割补，则矩形EBMF面积大小等于△ABC分别减去两个小的三角形△AEF、△FMC，第二步是分别证明分割所用三角形的面积相等，即△ANF与△AEF的面积相等，△FGC与△FMC的面积相等.

解答  由矩形的对角线将其分割为对应相等的两个小三角形，可知证明过程为：

赏析  上述问题来源于吴文俊院士对古定理的还原，是典型的几何证明题. 证明的总体思路是分割图形，构建图形的面积关系，因此在完善证明过程中依据该策略来建立问题的证明条件，该类问题对学生的证明思维要求较高.

以著作文化为背景的解题应用

古典著作的文化信息同样在数学解题中有着极为广泛的应用，涉及数学的定理和思想方法. 以其为背景命制的拓展应用题通常给出相关的定理公式，要求利用定理求解实际问题，解题关键是理解定理，把握定理的适用条件.

应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.

分析  题目给出了勾股数通解公式，求解n=1时一边长为5的直角三角形的其他边长，可以用m，n构建边长的表达式，然后从中选取符合题意的情形.

赏析  以数学文化为背景的拓展应用题具有较强的实用性，是对数学“学以致用”理念的贯彻. 上述以勾股数为背景，给出了相应的勾股数通式，以问题解决的形式考查学生知识的理解与应用能力，由于定理的条件限制，使得问题呈现多解情形，因此对学生的严谨思维具有较高的要求.

综上可知，数学文化题结合了文化信息与数学知识，是对数学教材的一种补充与拓展，学习求解数学文化题需要借助考题的导向作用，关注数学的经典著作，了解与教材内容相关的文化题材，尤其是教材中的定义与概念，需要结合其文化背景来加以理解. 以强化阅读能力为基础，培养数学文化思维是提升该类问题求解能力的关键.