梁洁琼

[摘  要] 在课堂教学过程中，我们不仅要教会学生必备的数学知识与技能，更要渗透思想与方法，真正诠释数学的价值和内涵. 本文结合“不等式与不等式组”，谈如何渗透数学模型思想，以此真正诠释数学的魅力.

[关键词] 模型;初中数学;渗透;价值

模型思想是数学基本思想中的一种，《义务教育数学课程标准》将模型思想列为十大核心概念之一. 在初中阶段，模型思想是连接数学与生活的桥梁，它能让学生体会和理解数学与外面世界的联系，从而更好地理解数学的内涵与本质. 在教学中渗透模型思想，不仅有利于教学目标的完成，而且能提高学生解决问题的能力，能促进学生数学思维品质的形成與发展. 下面，笔者以“不等式与不等式组”一章中的部分教学片段为例，谈谈自己在数学教学中渗透模型思想的看法.

源于生活，感知模型

模型的建立是一种由具体的实际问题转变为抽象的数学问题的过程，这种模型的建立对学生的抽象思维能力提出了较高的要求，而初中生的抽象概括能力处于发展的初步阶段，且模型思想是学生在模型建立过程中积累起来的一种固有数学素养，这种素养并不是与生俱来的，需要慢慢积累，因此，提升模型思想的感悟至关重要. “不等式与不等式组”一章的起始课是模型建立的基础，在章节的起始课，我们要尽量提供与学生生活相关的素材，让平时给人以严肃面孔的数学变得生动形象，让学生知道数学源于生活，又服务于生活.

例如，在起始课引入不等式时便可以由以下实例展开教学.

观察下面三个例子：①俗语“瘦死的骆驼比马大”;②爸爸的收入不比妈妈低;③公路上的限速标志上写着“100 km/h”.

师：上述例子反映了怎样的一种关系？你能自己再列举出一些具有类似关系的例子吗？

通过观察，学生很容易回答出第一个问题的答案，即上述例子反映出的是不等关系，教师提出第二个问题的目的是让学生找到生活中具有不等关系的例子，从而更深刻地体会这种不等关系在生活中的广泛存在性，进而对本节课的内容产生期待.

紧接着，可展示如下几个较为复杂的数学例子：④m与5的和小于7;⑤a的一半不大于4;⑥晚自习的铃声响了，原有40人的教室里仅有x人，过了10分钟，又来了4个人，但仍然有人缺席.

师：你能用数学语言描述上述6个数学例子吗？

生：对于①，用x表示“瘦死的骆驼的体重”，用y表示“马的体重”，则有x>y;对于②，用m表示爸爸的收入，用n表示妈妈的收入，则有m≥n;对于③，设汽车的速度为a km/h，则a≤100;对于④，m+5<7;对于⑤，1/2a≤4;对于⑥，x+4<40.

教师在此基础上揭示定义：用符号“>”“<”“≥”“≤”及“≠”表示不等关系的式子叫不等式. 然后进一步总结：不等式是描述不等关系的数学语言，现实生活中的很多问题都可以通过不等式来刻画. 以此让学生领会数学和生活的密切联系，感知不等式模型.

不等式起始课的作用之一就是“引导”，即从日常生活中的实例，上升到数学问题，自然引出不等关系，让学生体会不等关系与不等式，从具体到抽象，激发学生学习不等式的兴趣，并从整体上初步了解本章的知识线索. 教师的这种循循善诱、由浅入深、由此及彼的启发式教学，不仅能让学生深刻感受到模型思想的存在，还能让学生感悟到模型思想的价值与魅力.

回归本质，构建模型

在本章的起始课，学生对不等式有了初步的认识，也学会了用不等式来表示简单的不等关系，而初中阶段最常用的不等式模型是一元一次不等式（组），因此一元一次不等式（组）是本章教学的重点，也是后面学会建立不等式模型解决实际问题的基础. 所以本节课的重点是让学生通过本节课的学习，进一步提升模型思想在学生思维中的地位，充分启迪学生模型思想的建立.

师：在本章的第一节课中，我们用不等式刻画了现实生活和数学中的多种不等关系，现在我们再来回顾一下这些问题（PPT再现第一节课的问题）.

师：观察下面这些不等式，你能将它们分类吗？你的分类标准是什么？①x>y;②m≥n;③a≤100;④m+5<7;⑤1/2a≤4;⑥x+4<40.

意图？摇 引导学生按照不等式中未知数的个数进行分类，从而得出结论：①②中含有两个未知数，属于一类;③④⑤⑥中只含有一个未知数，属于另一类. 两者对比呈现，能让学生在知识结构中初步建构出一元一次不等式模型.

师（追问）：你能概括出这类不等式的特征吗？

意图？摇 引导学生类比已学过的一元一次方程的定义，从未知数的个数和次数出发，概括出这类不等式的特征.

在此，教师不仅通过类比的方法引导学生建构了新的认知，还让学生在问题的启迪下感受了模型思想的特点，在特点的自主建构下经历概念的建构、模型的建构，而教师很好地达到了“授之以渔，与之共渔”的效果. 完成对比后，学生很快可以自发地揭示定义——只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式叫一元一次不等式，以完成一元一次不等式定义的建构.

一元一次不等式（组）模型是某些实际问题的本质，因此，在进行一元一次不等式的概念教学时，依然以学生熟悉的例子为主线展开，让学生感觉到这部分内容是自己所熟知的，从而自己建构一元一次不等式，为下一节课“一元一次不等式组”及解决实际问题打下基础.

在模型思想的教学过程中，同学生一起感知模型、建构模型、揭秘模型是一个学生积淀模型思想的必经之路. 为此，教师要站在学生的思维高度，以学定教，以教促学，真正地和孩子们一起成长，一起生长智慧.

联系实际，应用模型

不等式是刻画不等关系的数学模型，它有着广泛的应用. 学习数学最本质的目的是解决生活中的问题，所以利用一元一次不等式（组）解决实际问题是本章的难点. 笔者在教学这一内容时，从一个简单的问题开始，进行展开.

问题？摇 某次知识竞赛共有20道题，每答对一题得10分，答错或不答都扣5分. 总分不低于90分才能进入决赛，那至少要答对多少道题才能进入决赛？

教师在讲解这道题时应启发学生思考以下问题：

（1）题中呈现出的是等量关系还是不等关系？（是不等关系）

（2）你能找出题中的数量关系吗？（答对的题数×10-答错或不答的题数×5≥90）

（3）假设答对x道题可以进入决赛，怎样根据不等关系列式解答？（10x-5（20-x）≥90）

这道题的条件清晰，问题明确，难度较低，作为第一题，可以让学生初步了解根据题中的不等关系建立不等式模型的一般思路和步骤. 讲解完这道题，可以让学生练习一道相似的试题，以巩固思路和方法，为后面更深层次的问题做铺垫.

练习？摇 学期结束了，班主任李老师让生活委员小明去购买三好学生奖品，小明走访了甲、乙两个商场，发现两个商场均以同样的价格出售同样的学习用品，且两个商场都有优惠活动. 甲商场的优惠方案是：累计购物超过100元以后，超出的部分按原价的90%收费;乙商场的优惠方案是：累计购物超过50元以后，超出的部分按原价的95%收费. 假如你是小明，你应该怎样选择商场？

本题涉及的数量关系较多，教师让学生充分审题后启发学生分以下三种情况进行讨论：（1）累计购物不超过50元时;（2）累计购物超过50元，但不超过100元时;（3）累计购物超过100元时.

解答  （1）当累计购物不超过50元时，两商场均不享受优惠，所以到两商场的花费一样.

（2）当累计购物超过50元，但不超过100元时，在甲商场不享受优惠，而在乙商场享受优惠，所以应选择乙商场.

（3）当累计购物超过100元时，设累计购物x（x>100）元. ①若到甲商场购物花费少，则50+0.95（x-50）>100+0.9×（x-100），解得x>150. ②若到乙商场购物花费少，则50+0.95（x-50）<100+0.9×（x-100），解得x<150. ③若到两个商场的花费一样，则50+0.95（x-50）=100+0.9×（x-100），解得x=150.

综上所述，当购物不超过50元或刚好150元时，两商场的花费一样;当购物超过50元但不超过150元时，乙商场的花费少，应选择乙商场;当购物超过150元时，甲商场的花费少，应选择甲商场.

选择方案问题是一元一次不等式与实际问题的常见问题，需要学生具有自主解读条件、分析问题和建立不等式模型的能力. 在上述例题的基础上，教师和学生共同总结和建立了不等式模型解决实际问题的基本步骤：审（审清题意）→找（找不等关系）→设（设未知数）→列（列不等式）→解（解不等式）→答（根据实际问题写出答案）. 教师还强调，建立不等式（组）模型是解决实际问题的方法，而建立不等式组的依据是题目中的不等关系，读透题目、找到题中的关键词是找不等关系的突破口，因此，审题、找不等关系、列不等式（组）应环环相扣、层层深入.

在本章的教学过程中，教师始终以日常生活中的例子作为教学的载体，将学生熟悉的场景以数学问题的形式呈现出来，让学生在无形中体会到数学与生活的联系，学会用数学解决生活问题.

在教学中渗透模型思想对于学生更好地理解数学、应用数学有积极的作用. 无论是概念教學还是定理的推导，我们都应该先创设情境，让学生从情境中抽象概括出数学问题，建立数学模型，领悟模型思想，进而学会用模型思想解决实际问题.