【摘 要】对于除法运算中整除的情况，也就是余数为0的情况，应当视为是“有余数”还是“没有余数”，对于这一问题一直存在不同意见，类似的问题在运算以及几何图形的认识等方面都存在。其中蕴含着的是辩证法中对立统一的思想，也即任何事物的存在，都伴随着其对立一方的存在，对立的双方在一定条件下可以相互转化。数学教学应当让学生通过学习活动，感悟这样的思想。

【关键词】数学思想 对立统一 数学课程

在一份小学数学试卷中，有这样一个试题：

一个有余数的除法算式中，除数是5，余数最大可能是几？余数有几种可能？

此试题考查的知识点显然是“余数要比除数小”，因此对于“余数最大可能是几”的问题，其答案自然应当为4。但对于“余数有几种可能”的问题，一些教师的意见存在分歧。

分歧的焦点在于，除了余数可能是“1，2，3，4”之外，对于整除的情况，应当看作是“没有余数”还是“有余数”？换句话说，余数为0的情况应当看作是“有余数”还是“无余数”？

一、没有余数与余数为0

如果从日常生活经验来看，比如6个苹果平均分给2个小朋友，每人分得3个苹果，此时通常就叫作“分完”了，或者叫作“无剩余”。如果是7个苹果平均分给2个小朋友，就是每人分得3个，剩下1个，此时就叫作“没有分完”，或者叫作“有剩余”。这样就形成了“有余数”和“无余数”的两种情况，这两种情况表现出“有”与“无”的关系，是截然相反、相互对立的关系。

用数学的语言说，在正整数范围内研究除法，自然会出现“整除”和“不整除”两种情况。……