王丽玉

摘 要：数学教学重视逻辑推理，强调推理的严谨性，因此对“合情推理”往往不够重视，导致不能够准确运用“合情推理”.在初中数学课堂教学中，教师应根据教材内容更有效地引导学生创设合情推理的情境，这样既提高课堂教学质量，又有益于学生推理能力的培养.

关键词：初中数学；教学方法；合情推理

数学发展中的重要发现，既离不开演绎推理，也离不开合情推理所起到的重要作用，是二者相辅相成的.所谓合情推理，是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果.合情推理的两种主要形式是归纳推理和类比推理.合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论.例如初中数学为了突破平面几何教学的语言难、书写难、思考难的特点，更好地发展学生的推理能力，整体设计时采取了“三阶段”的处理方式：合情推理为主、演绎推理为主、合情推理与演绎推理综合应用阶段.数学学习不仅要强调思维的严密性，结果的正确性，还要重视思维的直觉探索性和发现性，在初中数学教学中，重视课堂合情推理情境的创设是很有意义的，本文就怎样运用合情推理这一有效的思维方法做些讨论.

1 合情推理的情境创设中存在的典型问题

1.1 合情推理情境设置不当，降低学生的思维层次

“边探索、边证明”，把合情推理与演绎推理综合应用，在证明一个定理之前，先猜想、发现命题、推测思路.例如北师大八年级下第一章”等腰三角形性质的证明”.教学中，教师让学生先观察等腰三角形，提出猜想：两底角相等；让学生将三角形对折，验证猜想、证明猜想.学生顺利作出中线、高线、角平分线这些辅助线，完成了证明.本阶段等腰三角形性质的证明中，无论是课堂教学的情趣性、“猜想、实验、证明”设计的逻辑性，还是学生任务完成的流畅性，折纸实验似乎都能起到很好的效果.但是，笔者认为，折纸情境创设并不恰当.发现等腰三角形的性质很容易，而重点是证明，证明的难点是如何作出辅助线，并且给出几何证明的书写，真正实现“边探索、边证明”，把合情推理与演绎推理融为一体.而折纸中的折痕恰好为学生暗示了辅助线，暗示了证明程序.实验使原来高水平的认知任务被简化成一个简单的程序，明显降低了学生的思维层次.

如若不设计实验，没有了折痕暗示的辅助线。教师可以启发，“如何证明两个角相等呢？”学生不难想到“三角形全等对应角相等”，教师引导：“可并没有两个已全等的三角形”大多数学生都能想到将三角形一分为二，考虑“怎么分会有利于证明？”这样，学生认知参与的质量才真正决定了学生能学到什么，因此，创设合情推理情境不应该以降低学生认知参与的深度为代价的.

1.2 过于追求课堂教学结构的完整性，造成了合情推理环节的低效甚至无效

例如北师大版七年级下《认识三角形》的教学中，教师将学生分成小组，先测量三角形内角，探索发现内角和为180°，再让学生合作进行撕纸实验.学生将撕下的两个角和第三个角拼在一起，发现它们组成平角，受实验启发，寻找证明需要的辅助线。在学完三角形内角和定理后，教师提出：“多边形的内角和有什么规律”再由学生合作完成.

教师的设计程序：测量、猜想、实验、证明，再由三角形的内角和拓展到多边形内角和，从四边形着手探究，通过归纳，由特殊到一般，由具体到抽象.这其中合情推理与演绎推理相结合，似乎整节课的结构良好，而事实上，多数学生在小学已获知三角形内角和定理，再通过测量、撕纸片“发现”内角和180°很牵强，此处创设的合情推理基本无效.撕纸实验的又一用意是能拼成平角发现辅助线，但拼图是开放问题，并不一定都能拼成出现辅助线平行线的情形.可见，合情推理情境若设计的问题不当，过于简单或是学生已知的，合情推理的教学就会低效甚至无效的.

1.3 合情推理情境创设难度过大，学生难以运用归纳与类比进行推理

例如“一元二次方程的根与系数的关系”中韦达定理的推导，教师首先提问一元二次方程的求根公式，紧接给六个方程，由学生求解，然后让学生探求x1+x2，x1 x2有什么规律，归纳x1+x2，x1 x2与方程系数的关系，即韦达定理，然后证明 [1 ]。教师的意图是想从具体的运算开始，让学生用实验和归纳发现韦达定理。在实际操作中，学生能够想到研究x1+x2，x1 x2，而非x1+x2，x1 x2与方程系数的关系，通过六个方程及其根顺利完成“从具体到抽象”的归纳，情境难度大，不容易归纳。本节课教学中，可以通过复习求根公式x1，2=时，设问引导学生发现两根的差别在于分子中“+”和“-”的不同.学生直觉联想到可以研究x1+x2，x1 x2，更容易推出x1+x2=-，x1 x2=.显然设置合情推理环节不一定能使学生更加容易推导出公式，当已经具备演绎推理的条件时，教师就因地制宜，无需为了合情推理而合情推理.

上述案例中所设计的情境无法更好地体现合情推理在探索、发现结论中的价值，应让学生感受到合情推理的必要性，而不能只流于形式.

2 准确创设合情推理情境的基本对策

合情推理情境有广泛的来源：概念的形成、定理获得的过程、例题的选泽和呈现，通过概念的形成，公式、定理的发现、探索、推导过程.我们应该分析学生学习的思维过程，暴露学生的认知结构，有针对性地进行情境创设，尽可能地培养合情推理能力.

2.1 创设合情推理情境应基于学生数学思维的年龄特征

教学的适度性一定程度上决定了教学的有效性，奥苏泊尔曾说：数学教育如果用一句话来说，就是探明学生已有的状态.恰当的合情推理情境必须是鉴于学生数学思维年龄特征.13岁到15岁的初中生其基本特征是经验型的抽象思维正逐步过渡到理论型的抽象思维，但仍然以经验型为主.

法3：由幂的运算法则，得am-n·an =a（m-n）+n =am （m>n）再利用除法是乘法的逆运算，可得am÷an=am-n（m>n）.虽然都是合情推理教学，法1是具体形象思维水平，通过特殊除到一般归纳概括；而法2处于经验型抽象思维水平；法3则属于理论型抽象思维.若以学生思维发展特征为依据，法2与初中生思维水平相适宜，高中学生的思维发展水平特征可选用法3来推导“高中复数三角式的除法”.

2.2 创设合情推理情境应简洁明了

课堂教学的限时性决定了创设的合情推理情境要简洁明了，比如：在探索n边形内角和，先展示实物（五边形水果盘、六螺帽、八仙桌），那么n边形内角和是多少呢？引导学生探究四、五、六边形的内角和求法.（见表1）

引导学生发现表中潜藏的规律？边数与内角和的关系？通过表格给学生简洁明了的归纳背景。本合情推理情境的创设以学生已认知的三角形内角和180°为研究起点，利用特殊到一般，从特殊的探究中发现一般思路，直至发现内在的本质规律。当然，对于本探索而言，思路是多元的，有多种分割方式，但为了课堂上凝聚这一基本方法，没有拓展，而是把探寻别的分割方式置于课后作业，把探索延至课外，拓展了学生思维空间 [2 ]。这种简洁明了的合情推理情境的创设凝聚了课堂主题，凸显了重点，透视了本质。有利于学生对新知识概念的巩固及掌握，从而由特殊到一般，形成良好的抽象思维习惯，提升综合推理能力。

2.3 通过原训练型问题的改造增设合情推理情境

新课标中用“探索并证明……”，是希望教师能把合情推理与演绎推理相结合。对原有训练型问题的改造，比如，把确定性证明题改为“是否存在”的探究性问题、开放性问题等。将原题“请你证明……”，修改为：你发现有什么性质、特点？”便增添了合情推理的过程。

例如，已知：如图1在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，连接DE，交AC于点F，如图1所示求证：（1）四边形ADCE是矩形，四边形ABDE是平行四边形；（2）DF=AB（学生刚学习矩形的性质及判定）将所求的结论改为：（1）四边形ADCE、四边形ABDE分别是什么特殊的多边形；（2）DF与AB的关系。从训练型问题修改为开放性问题，通过设问、追问形式，对教师不同的问法、提法，对学生思维发展起到截然不同的作用。

2.4 创设合情推理情境应关注知识的形成过程

教师注重学生知识的形成过程，引导其有目的、有征对性地研究解决问题的方法。向学生揭示探索数学问题的一般方法：猜想—探索—发现—比较—验证，充分体现了类比和归纳的推理方法。学生感悟合情推理方法的同时积累了一定的活动经验，如“矩形、菱形、正方形性质及判定”教学中引领学生经历研究几何的一般过程：概念—性质—判定”充分体现了类比和归纳的数学思想方法 [3 ]。在“一次函数”的教学中，教师应引领学生经历“实际问题—建立模型—探索函数图像及性质—函数应用”的过程，感受在探索过程中蕴涵的合情推理，积累研究函数的基本经验，为研究反比例函数、二次函数打基础，在学完“探索三角形全等条件”后让学生探索三角形相似的条件；在教学“分式”时渗透类比思想；在教学“方程组”时渗透转化思想。总之，要在课堂教学中体现类比和归纳的数学思想方法，关注学生合情推理能力的有效培养。

总之，合情推理教学要始于恰当的情境，教师要创设适合学生学习的情境，并给学生学习方法上的指导。合情推理用于探索，演绎推理用于证明，两者相辅相成。并非所有的教学都需要始于合情推理，应当深入地了解学生学习过程中真实的思维活动，一切教学活动都必须基于教学的实际，关注学生知识的形成过程，通过课堂合情推理情境的创设，能够更有效地促进学生合情推理能力的发展。

参考文献：

[1]程华.数学课堂中合情推理情境创设的思考[J].中学数学教学参考，2015（7）：28.

[2]王桥生.合作学习法在初中数学课堂中的运用研究，[J].中学数学教学参考，2012（12）：19.

[3]马秀萍.合情推理，合情也要合理[J].中学数学教学参考，2015（3）：23.