杜成智

[摘 要] 学生经常证题，但大多数是在已有结论的情况下进行的（称这类问题为封闭题型）. 如果向学生适当提出一些不具有现成结论的问题让学生寻求结论（称这类问题为开放题型），那么这对提高学生的学习兴趣和数学素养，培养学生的研究探索能力，无疑是很有益的. 笔者在一堂数学活动课上将一道课本例题设计成一组开放题，借助《几何画板》给学生探索的平台，引导学生主动探究，真实地展现思维过程，使学生兴趣盎然.

[关键词] 学习兴趣；探究能力；数学素养

问题构思

一道课本例题：苏科版八下P82例5.

已知：如图1，在正方形ABCD中，点A′，B′，C′，D′分别在AB，BC，CD，DA上，且AA′=BB′=CC′=DD′.

求证：四边形A′B′C′D′是正方形.

问题1：如图1，点A′，B′，C′，D′是正方形AB，BC，CD，DA边上的动点，使AA′=CC′，BB′=DD′.

思考1：四边形A′B′C′D′是什么四边形？

下面按这样的程序研究此问题：

（1）观察图形并猜想结论：拖动A′和B′点，使图形变化. 观察猜想，学生一致判断四边形A′B′C′D′为平行四边形.

（2）数据验证：现测算四边形A′B′C′D′的四个角的度数，发现拖动A′和B′点，四边形A′B′C′D′四个角的度数值不断变化，但始终保持两组对角相等，因此它是一个平行四边形.

（3）理论证明：可证△AA′D′≌△CC′B′得A′D′=B′C′，同理得A′B′=C′D′，可得结论，问题得以解决. 不妨将其称为正方形的内接平行四边形. 那么它可以再特殊化吗？

思考2：四边形A′B′C′D′能为矩形吗？如果可能，什么条件下它是矩形？

观察图2，部分学生从刚才测算角度的过程中发现∠D′A′B′可以为90°. 判断只要∠1+∠2=90°即可. 需证△AA′D′≌△BB′A′，则要求AA′=BB′=CC′=DD′，使得四边形A′B′C′D′能为矩形.

此条件确能保证四边形A′B′C′D′为矩形，此时四边形A′B′C′D′既是矩形也是正方形. 但问题是这个条件必要吗？……