数学软件在高等数学教学中的作用探析

程登彪

(莱芜职业技术学院 机电工程系，山东 莱芜271100)

摘要：数学软件对高等数学教学有很好的辅助作用，主要体现在计算辅助、图形教学辅助、数学模型解答辅助和高数教材问题探索辅助等方面，能够熟练灵活地利用数学软件对高等数学教学改革意义重大。

关键词：数学软件；高等数学；数学教学

收稿日期：2015-06-18

基金项目：本文系莱芜职业技术学院2013年教学改革项目“基于数学软件的高等数学教学改革探索”的研究在果。

作者简介：程登彪(1974-)，男，山东莱芜人，莱芜职业技术学院机电工程系讲师，硕士，研究方向为数学模型应用。

中图分类号：G64

文献标识码：A

文章编号：1671-8275(2015)04-0057-03

Abstract:With the development of computer technology , mathematical software plays a good supporting role in advanced mathematics teaching, which mainly involves in computer aided, graphic teaching aid, mathematical model solving auxiliary and the problem exploring aid of advanced mathematics teaching materials. It has great significance for advanced mathematics teaching to master mathematical software skillfully and flexibly.

数学软件就是专门用来进行数学运算、数学规划、统计运算、工程运算、绘制数学图形或制作数学动画的一种计算机工具。本文主要以几何画板、lingo、matlab为例谈谈数学软件在辅助高等数学教学中的作用。

1数学软件在高数计算和数学知识巩固中的作用

数学软件辅助计算是数学软件的最基本的功能之一，比如我们平常使用的手掌大小的计算器就是一个小型的数学软件。数学计算是数学的核心。从数学的产生和发展来看，数学的计算都是数学存在的根本目的。数学的问题大都需要通过一系列的计算和推导得到一个结果，用于现实生活或科学研究。通过数学软件的使用能够培养学生的计算能力和数学知识巩固程度。

数学计算能力是数学学习的一个基本能力[1]。数学的计算能力能够带动和培养学生的逻辑思维能力、发散思维能力和空间想象能力。考察学生计算能力的四个标准是准确程度、合理程度、快慢程度和简洁程度。如果仅仅知道如何计算，但是计算结果总是错误，那就是计算能力欠缺，这样的学生不在少数。例如导数的计算，很多学生都知道导数的计算有五种办法(导数的四则运算、复合函数求导、隐函数求导、取对数求导、反函数求导)，但是计算的时候不能融会贯通，挂一漏万，错误百出，这就是计算能力不佳。在数学软件的帮助下，可以较好的提高和培养学生们的计算能力。我们都知道，很多学生爱玩电脑，但是仅限于娱乐。通过实践，我们把一些数学的计算搬到电脑上，像娱乐一样吸引学生先用数学软件计算，然后自己再动手计算，两者比较学习，取得了良好的教学效果。

要想进行数学计算，必须了解和掌握数学的有关知识，包括概念、定理、性质、公式等等知识。只有经过反复大量的计算，才能加深学生的数学知识的巩固程度。数学软件仅是个工具，学生们使用它之前必须首先根据数学知识列好要计算的式子，然后输入，才能使之工作。这个过程调动了学生们的积极性，吸引他们查阅数学教材，巩固数学知识。

例如，“定积分的应用”这一节，不管是利用定积分计算某图形的面积还是体积，都要首先列出计算的式子，然后再利用计算机计算出结果。经过我们的项目实践，很多学生为了在计算机上计算出正确的结果，反复思考列式，对定积分如何求面积、如何求体积的知识掌握较好。

2数学软件在数学图形教学方面的辅助

数学软件绘制数学图形对于数学知识的教学有很重要的作用。在中学阶段，数形结合是进行代数和几何教学的重要方法。在高等数学阶段，也是如此。函数的代数表达式，如果用直角坐标系内的各个点(x,y)表示出来，对学生的吸引力比代数式要强百倍。

2.1数学图形能够直观表达数学变量之间的关系，避免繁琐的理论证明，易于学生理解

2.2数学图形能够直观展示数学代数式的发展变化，淡化代数式的抽象性，易于理解

关于这一方面，在高等数学函数的性质与描绘(单调性、凹凸性、极值性等)几节的学习中，尤其明显。函数代数式的单调性、极值性、凹凸性、渐近线等，如果仅是理论讲解，很多学生不明白，那些空间想象能力差的学生更是基本上不理解。但是配合数学软件的辅助能够取得极好的效果。设函数y=x3-6x2+9x，利用几何画板画出它的图像。从图像易看出，图像下凸单调上升，有一个极大值点和拐点，短暂下降，又有一个极小值点和拐点，上凸单调上升。知道了这些结果，教师提问：那么我们不画图，我们又该如何知道函数的单调上升、下降和极大值、极小值呢？从而引导学生进行函数代数理论的学习，也就是利用一阶导数、二阶导数的研究函数代数式。

上面是二元函数和二维坐标系，如果在三元函数里面学习，由于知识更复杂，学生们会更加难以理解和学习，这时候结合MATLAB数学软件的三维画图功能，就能大大提高高数教学的效率。设函数z=x2+y2，此函数的极值如何？通过MATLAB数学软件辅助画图，学生更易于明白。

图1　z=x2+y2三维图

通过图像可以看出，这个二元函数有一个极小值点，在(0，0，0)处。

总之，数学软件在数学图形方面的教学辅助经过我们的项目实验，意义极大。现在各所学校教室都已经是多媒体教室，硬件方面已经配足，只要数学教师大胆使用，必将取得很大的成绩。

3数学软件在数学模型方面的辅助

数学模型，就是反映特定问题或者特定的具体事物系统的数学关系的结构。建立数学模型的目的就是为了解决具体的实际问题。建立数学模型，首先要分析问题，哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示；其次根据所给的条件，运用数学、物理或者经济、社会的知识，确定数量关系；最后具体写出解析表达式，然后确定求解。

一般情况下，数学模型的最后表达式有两类，一类是复杂的计算式子，另一类是最优化的问题。对于复杂的计算式子，也就是数学软件的计算功能，上面已经论述，再此不再详述。最优化的问题是数学软件解决的一大类数学问题，也是我们人工手工计算极难解决的问题。所谓最优化的问题，就是给定一个函数或者几个函数，在一定的范围内，寻找一个值，使得此函数达到最大或者最小值。

数学建模是我们学习高数的最高境界，因为数学就是为了应用。而数学建模是把高数理论应用到现实生活中，解决具体问题，所以价值极大。我们国家每年9月份要进行全国数学建模竞赛，活动影响极大，培养了很多高素质的数学建模高手。高数理论性较强，学习高数的过程中，适当的进行数学建模的训练，不仅能够拓展高数的所学知识，而且能够使得学生明白，高等数学不是仅仅停留在理论层次上，它其实是有大用处的。

下面我们来看一个简单的最优化的问题。最优化的问题在我们高数教材内已经有所渗透，比如高等数学教材题目，有一块铁皮，宽为24cm，要把它的两边折起来做成一个梯形断面水槽，使此水槽中的水的流量最大，那么倾角α和梯形腰x各为多少？这是一个简单的数学建模问题。

首先求得梯形面积的复杂表达式，f(x,α)=(24-2x+2xcosα)xsinα-x2sinαcosα。直接求解最优值很繁琐，借助数学软件可以事半功倍。

利用数学软件的最优化功能解决，有两个办法，一个是利用matlab编制下面的程序：

af=0:0.01:pi/2;x=0:0.01:12;[af,x]=meshgrid(af，x);f=24*x.*sin(af)-2*x.^2.*sin(af)+x.^2.*cos(af).*sin(af);

fmax=max(max(f))

[i，j]=find(f==fmax)

另一个办法是用lingo求解，在lingo工作区内输入下列命令：

max=(24-2*x+2*x*@cos(af))*x*@sin(af)-x^2*@sin(af)*@cos(af);

@bnd(0,af,3.1415926/2);

求解结果同上。一题用多种数学软件求解，可以帮助学生深化知识，提高能力。

4数学软件在高数教材问题探索方面的辅助

高等数学内容都是前人一点一滴的探索发现、累积起来的。发现学习法告诉我们，利用发现法学习，让学生身临其境的从无到有的探索数学知识的来龙去脉，可以帮助学生深刻学习，提高数学学习兴趣和能力。高等数学的教材内容中有一些需要做探索性实验发现结果，以使学生更明白数学知识。在这方面，数学软件起到了很好的辅助作用。通过数学软件的演示和展现，能够表达清楚数学知识的来龙去脉。

例如拉格朗日中值定理中寻找ζ，如果教师仅仅是在黑板上画图，学生们感觉枯燥无味。但是如果利用几何画板软件做一个动画来展示和寻找，学生们就感觉很新奇，不仅引起学生们的学习兴趣而且还能很容易的找到满足f(a)-f(b)=f′(ζ)(a-b)的ζ点。如图2，点击“动画线段”，让直线沿着函数曲线走动，当走动到直线和连接AB的线段平行时，就找到了满足f(a)-f(b)=f(ζ)(a-b)点ζ。

图2　拉格朗日中值定理动画截图

这样，教师总结出在区间(a,b)上一定存在至少一个点

高等数学内还有其他很多类似的可以利用数学软件探索发现的事例，各位教师可以自行实验。操作软件的目的，是为了使学生们更容易理解数学知识，目的是过渡到数学知识，所以直观之后是理论的建立。教师要避免大部分时间操作软件，学生只是观察软件演示结果，没有及时过渡到理论，那么学生对知识仅停留在直观层面，对数学知识的掌握难以凑效，那就违背了数学软件辅助教学的初衷。

参考文献：

[1]高守雷.数学软件在高职数学课教学中的运用及效果[J].教育探索,2009(8).

[2]陈衍峰,惠学然.数学建模与应用数学软件课程教学改革探索[J].通化师范学院学报,2012(12).

[3]王剑侠,龚力强.Maple在高等数学教学中的应用[J].广州大学学报,2002(6).

[4]杨刘.例析Matlab软件融入数学教学课堂[J].合肥师范学院学报,2010(03).

[5]陈娟.论数学软件在高等数学教学中的作用[J].集美大学学报,2009(2).

责任编辑：吕明

Analysis on the Role of Mathematical Software

in Advanced Mathematics Teaching

CHENG Deng-biao

Key words:mathematical software; advanced mathematics; mathematics teaching