笔者担任高三年级第一学期教学质量调研数学试题的命制工作.本次考试共有14所高中参与联考，试卷总分150分，考试平均分为89.87分，符合命题预设，难度适中.其中，第19题解析几何压轴题平均分为4.73分，该题符合《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》强调的“考查内容应围绕数学内容主线，聚焦学生对重要数学概念、定理、方法、思想的理解和应用，强调基础性、综合性；注重数学本质、通性通法，淡化技巧”要求．笔者现将第19题解析几何的命制心路历程与考后反思记录如下，与同行探讨交流.

试题呈现与解析

1.试题呈现

与y轴交于点E，F记直线 EA 与双曲线C的另一个交点为 P ，直线 FA 与双曲线C的另一个交点为Q.

（1）求双曲线C的标准方程；（2）求证直线 AE 和直线 ⋅AF 斜率之积为定值；（3）判断直线 PQ 与圆B的位置关系，并说明理由.

2.试题解析

解法1解点求解.

将点（-3，0）代人圆 B 的方程，得 ，所以-4y2=9，yy=-9.所以，kAE*kAP （20

（1）因为双曲线C： ^0，bgt;0） 过点A （-2，0） ，其渐近线方程为 x±2y=0 ，所以 所以双曲线C的方程为 （2）设 F（0，y₁），E（0，y₂） ，则圆心 半径 ，圆B的方程为

（3）FA 的斜率 =1，联立方程

（x+2）得（1）

|x²-4y²=4

0，则

所以 1-yy0= y_Q=

所以 （204号

同理可得 所

已知双曲线 c 0）过点 A（-2，0） ，其渐近线方程为 x±∂ 2y=0. 圆 B 过点 M（-3，0），N（3，0） 且以， 2y（1-y²）-2y（1-y²） 所以lpQ：y 即 所以PQ恒过点 由第（2）问知圆 ，即 x²+y²-（y₁+y₂）y-9=0. 将 代人圆B的方程，得 所以点T在圆B内.所以 PQ 与圆 B 相交.

解法2设点求解.

（1）（2）同解法1.

（3）设直线 PQ 的方程为 x=ty+m （m≠-2），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄） ，联立方程 {x=ty+m，得（t²-4）²+2tmy+m²-4=0，t²-4≠0，Δ=（2tm）²-4（t²-4）（m²-4）gt; 因为kAE ，所以 ，，所（2以 （9t²+4）y₃y₄+9（m+2）t（y₃+y₄）+9（m+ 2）²=0 ，即 （m+2）（-32m-80）=0. 因为m≠-2，所以m=- ．所以PQ恒过点 由第（2）问知圆B 即 x²+y²-（y₁+y₂）y-9=0. （20将 代人圆B的方程，得25 9lt;0 ，所以点 T 在圆 B 内， PQ 与圆 B 相交.

解法3齐次化求解.

（1）（2）同解法1.

（3）设直线PQ的方程为 m（x+2）+ ny=1，P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄） ：将双曲线 c 的方程变形为 [（x+2）-2]²-4y²=4 ，即（x+2）²-4y²-4（x+2）[m（x+2）+ny]=0. 令 ，则 1-4k²-4（m+nk）=0 ，即4k²+4nk+4m-1=0，Δ=16n²-16（4m-1）gt; 0.因为……