中图分类号：G632 文献标识码：A文章编号：1008-0333（2025）16-0018-03

双曲线的离心率问题，一直是历年高考数学试卷中的一个重点与难点，题目背景新颖，形式变化多样，往往需要从不同思维视角切入，结合不同的技巧与方法来分析与解决下面结合一道高考模拟题中双曲线离心率的求解，通过多角度思考，合理进行逻辑推理与数学运算，探究不同解法，并反思解题过程.

1 试题呈现

试题 已知椭圆C：4 和双曲线 C₂ ： 有公共焦点 F₁，F₂ ，它们在第二象限的公共点为点 P ，点 P 与右焦点 F₂ 的连线交 y 轴于点Q ，且 QF₁ 平分 ∠PF₁F₂ ，则双曲线 C₂ 的离心率为.

2解法探究

解法1 如图1所示，由题意可知， F₁F₂=2 ，

PF₁=r₁，PF₂=r₂，∠PF₁Q=∠QF₁F₂=∠PF₂F₁=θ.

所以 解得 在 ΔPF₁F₂ 中，由正弦定理可知

所以

所以

在 ΔPF₁F₂ 中，由余弦定理可知r₂²+（2c）²-r₁²=2r₂⋅（2c）⋅cosθ.

即 a（5a-2）=0

解得 中

所以双曲线 C₂ 的离心率

点评 由双曲线、椭圆的定义得出 （2号再由正弦定理得出 cosθ ，余弦定理得出（2号 进而得出离心率.

解法2由已知，记 ∠PF₂F₁=θ ，则 ∣QF_⋅1 二

椭圆的离心率

解得 （20

双曲线的离心率

点评在 ΔPF₁F₂ 中，利用正弦定理的边化角公式，并结合离心率公式得出 cosθ ，进而再由正弦定理的边化角公式结合离心率公式求出双曲线的离心率.

解法3由已知，记 ∠PF₂F₁=θ ，则 ∣QF₁ 二

由 ，得

则

所以

（4-|PF₁|）²=|PF₁|²+2|PF₁|.

所以 A

双曲线的离心率e=IPF2I-IPF，I

点评由 ΔPF₁Q⌣ΔPF₂F₁ ，根据相似性质构 建方程组，求解得出 ∣PF₁∣，∣PF₂∣ ，再由离心率公式 求解即可.

解法4 由已知，设 ∣PF₁∣=x ， ∣QF₁∣=t ，则∣PF₂∣=4-x，∣QF₂∣=t.

由三角形的内角平分线定理得

即 xt=8-2x-2t

由已知易知 ，则

则 2x=4t-xt

由 ①② ，得 2x=4t-（8-2x-2t）

解得

所以双曲线的离心率

点评利用三角形的内角平分线定理得出 Ψ_xt =8-2x-2t ，由相似性质得出 2x=4t-xt ，联立方程解出 ，最后由离心率公式求……