张东年　贾随军

【摘 要】科学本质上是一种批判的活动，科学方法的核心就是试错法，而核心素养在义务教育阶段的数学思维表现为发展质疑问难的批判性思维，形成实事求是的科学态度。本文将波普尔的科学方法论“四段图式”与数学学科教学结合起来，构建了“提供材料与确定对象→发现问题与提出问题→试误逼近与批判质疑→评价选择与信息反馈→反思总结与获得结论”的教学实践路径，为培养批判性思维的数学教学实践提供参考。

【关键词】核心素养；批判性思维；初中数学；途径；教学实践

一、引言

中国学生的核心素养，包括自主发展、社会参与和文化基础三个领域，其中文化基础领域的素养表现为人文底蕴和科学精神，而科学精神具体包括理性思维、批判质疑、勇于探究等基本要点。［1］数学对于提升民族素养和确保国家旺盛的创造力，具有其他学科无法替代的独特作用［2］，《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调要发展学生质疑问难的批判性思维，并形成实事求是的科学态度［3］。

批判性思维泛指个人对某一现象和事物之长短利弊的评断，它要求人们对所判断的现象和事物有独立的、综合的、有建设意义的见解。［4］20世纪以来，如何提高学生的批判性思维能力，一直是教育改革的热点，批判性思维也成为当前学生必备的核心技能之一。因此，在中学数学教学中，如何培养批判性思维是值得一线教师进行深入研究的，本文以“二元一次方程（组）定义”的教学为例，探讨数学教学中培养学生批判性思维的途径与方法。

二、数学批判性思维培养的途径

数学批判性思维从属于批判性思维，它是批判性思维在数学中的体现。所谓数学批判性思维，是指在数学学习活动中有目的、有意识地对已有的数学表述和数学思维过程、结果做出自我调节性分析、判断、推理、解释和调整的个性品质。［5］

哲学家波普尔（K. Popper）认为，科学总归是假说，科学态度本质上是批判态度，本质上是一种批判的活动，即科学是批判的，科学是可被否证的，可否证性和批判性对科学最为重要。［6］波普尔建立了科学方法——试错法，试错法由尝试和排错两个要素构成，后来波普尔将试错法进一步公式化，发展为科学方法论的“四段图式”，即P1—TT—EE—P2，其中P1表示问题，TT表示尝试性的各种理论，EE表示通过批判和检验即反驳以清除错误，P2表示新的问题。［7］

“四段图式”表明科学研究的方法是从问题开始，以新的问题（重要结论）结束的；科学方法的核心就是试错法；理论先于观察。本研究在数学课堂中创设批判性思维培养的条件，依据数学学科本身的教学特点，结合科学方法开展教学，将波普尔“四段图式”与数学学科教学有机结合起来（如图1）。

荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔（H. Freudenthal）认为，与其说学数学，倒不如说学习数学化［8］，数学化首要是从现实世界到数学内部。那么，数学学科教学的开始就应以情境（数学外部与数学内部的情境）为载体，因此教师要为学生提供学习材料，借助材料确定学习对象。为此，在波普尔“四段图式”与数学课堂教学的对应关系中应增补“提供材料与确定对象”环节。基于上述分析，本研究构建了数学批判性思维培养的教学实践途径（如图2）。

（一）提供材料与确定对象

提供材料与确定对象阶段的操作过程，就是针对本节课内容选取合适的素材，素材来源主要是数学外部材料（如实际问题）和数学内部材料（如数学问题），在确保所提供的材料真实的前提下，设计合理的生活情境、数学情境、科学情境，适当引入数学文化。利用具体的、直观的、典型的、丰富的材料，结合学生的学习经验和长时记忆中的相关信息，让学生在情境中辨认出本节课要研究、学习的数学对象，这是学生经历数学化活动而习得数学思维方式的前提。

（二）发现问题与提出问题

发现问题与提出问题阶段是针对上一阶段确定的学习对象，利用已有知识和经验进行类比与分析，厘清学习、研究本节课内容的思路，依据研究思路发现研究过程中需要面对的问题，同时提出具体的问题。这就是在确定数学对象的基础上，进一步细化学习对象，实现从现实世界进入数学的目的，让学生真正经历数学化活动的过程。

（三）试误逼近与批判质疑

试误逼近与批判质疑阶段的操作过程，是指对于已提出的数学问题，首先提出一个数学结论（待实践检验），教师设想出用它来处理问题應得出的结果（预期结果），同时学生用这个数学结论去尝试解决问题（即用实践检验已提出的数学结论），然后将实践所得结果与预期结果相比较，在整个实践过程中产生矛盾，质疑过程与结论，批判思想与方法。试误逼近的过程就是实践，问题只有在实践中才能暴露并被发现。对已暴露和发现的问题，不断试误逼近，试解一次就离错误远一步，离正确结论近一步。

（四）评价选择与信息反馈

评价选择与信息反馈阶段是将上一阶段中实践所得结果与预期结果进行比较，看它们是否一致：若二者一致，则表明问题得到解决，最先提出的数学结论是正确的；若二者不一致，则表明教学中没有得到正确结论，最先提出的数学结论是错误的，此时教师要设计教学活动，促使学生找出二者的差距并重新收集材料，或修改原有数学结论，或建立新的数学结论，然后再实践、再检验，在这个循环反复的过程中不断排除错误。

（五）反思总结与获得结论

反思总结与获得结论阶段是在经历前面所有阶段的活动后，教师设计活动引导学生对实践活动进行反思，通过反思学会管理自己的学习，感悟数学知识的获得过程；教师还需设计活动引导学生将实践活动中得出的结果与方法用合适的方式进行表达，最终获得正确的结论。

三、数学批判性思维培养的教学案例

认识二元一次方程组是北师大版教材八年级上册第五章的章首课内容，而二元一次方程（组）定义是本节的核心概念，也是进一步学习二元方程的基础课。本研究以单元整体教学视角分析本单元内容（如图3），以数学批判性思维培养视角设计“二元一次方程（组）定义”的教学。

从教学内容看，在掌握一元一次方程的基础上，对二元一次方程组进行探究学习，丰富学生对方程的认识；从思想方法看，让学生从实际问题中抽象出方程和类比一元一次方程知识，学生通过猜测、归纳等多种途径获得知识，丰富学生研究方程的方法与思路；从数学核心素养看，让学生经历“学习材料与确定对象→发现问题与提出问题→试误逼近与批判质疑→评价选择与信息反馈→反思总结与获得结论”的过程，可以培养学生的数学抽象、数学建模和逻辑推理能力，进而发展学生的批判性思维。

（一）提供材料与确定对象

引入 大家已经学习了一元一次方程的相关知识，那么，我们应该从哪些方面学习二元一次方程组呢？

【设计意图】建立二元一次方程（组）及其解的概念的方法之一，就是类比一元一次方程的相关知识。复习回顾一元一次方程的知识有助于本节课概念的归纳总结以及研究思路的借鉴，同时为学生学习新知识提供思维基础和活动经验。

问题1 列出一元一次方程的过程中，选择的未知量是什么？另一个量是什么？如何表示另一个量？根据以下题意可以得到怎样的一元一次方程？（思路见表1）

（1）已知长方形的长、宽之和等于10，长与宽的2倍之和等于12，求长和宽。（古巴比伦泥板书）

（2）已知两数之和为10，差为4，求这两数。（丢番图《算术》）

【设计意图】从数学发展史上看，二元一次方程组问题和一元一次方程问题几乎出现得一样早，历史上最简单的二元问题具有如下形式：已知两个量之和为c1，第一个量的a倍与第二个量的b倍之和（或差）为c2，求两个量分别是多少？本节课教学从古巴比伦泥板书和丢番图《算术》中选择典型问题，对史料中的问题进行重构。这样的设计符合教学需要：一是促使学生体会面对实际问题如何设元，如何寻找等量关系（自然语言表述），如何列出一元一次方程，培养学生的模型思想；二是促使学生能在提供的真实情境中辨认出本课学习研究的数学对象，经历数学化活动，进而习得数学思维。

问题2 将问题1两小题中的另一个量看作未知量，设为y，如何列出方程？（思路见表2）

【设计意图】学生经历将一元一次方程转化为二元一次方程（组）的过程，体会“增元”与“减元”，以及二元方程解决实际问题的相对优越性。问题2渗透“消元”思想，为二元一次方程组解法做铺垫，同时引导学生确定本节课的学习对象。

（二）发现问题与提出问题

问题3 同学们，表2中列出的是什么方程？你能根据已学知识进行命名和定义吗？为什么将方程x+y=10叫作二元一次方程呢？什么样的方程叫作二元一次方程？

在此教学环节中，学生给出的二元一次方程的定义为“含有2个未知数，未知数的次数都是1次的整式方程为二元一次方程”，教师进行板书（如图4）。显然，学生得出的二元一次方程的定义是不严谨的（教师依据学生结论书写板书中灰色方框里的内容），即“未知数的次数都是1次”存在问题，学生给出此定义的原因之一是类比了一元一次方程的定义，原因之二是学生个人的感性认识。学生无法看清存在的问题，因此需要教师设计活动，让学生通过实践活动不断试误，逼近正确的结论。

问题4 上述问题中，x所表示的对象相同吗？y呢？

例如，在x+y=10和x-y=4中，x，y代表的对象是相同的，就是说x，y同时满足这两个二元一次方程，那么把它们合在一起就组成了一个二元一次方程组，可写为[x+y=10x-y=4]。

问题5 什么是二元一次方程组？

在此教学环节中，学生给出的二元一次方程组的定义为“2个二元一次方程所组成的一组方程”，显然学生得出的这个结论也是错误的。

【设计意图】通过直接学习二元一次方程的概念，暴露学生在得出二元一次方程组概念时会出现的错误。本环节首先让学生从形式上直观认识二元一次方程组的概念，得出结论；接下来，教师要设计活动，通过批判质疑来试误逼近二元一次方程组的概念，并纠正二元一次方程组概念总结中出现的错误结论。

（三）试误逼近与批判质疑（Ⅰ）

问题6 下列方程组中，哪些是二元一次方程组？

①[3x-4z=0x+y=7] ②[xy-y=5x+y=10] ③[x=52x+y=40]．

生：①不是二元一次方程組，因为它含有三个未知数，应该叫作三元一次方程组。

师：非常好，这位同学的迁移能力很强，由二元一次方程组联想到了三元一次方程组。

生：②也不是二元一次方程组，因为xy-y=5不是二元一次方程，它的xy这一项次数是2次，所以，xy-y=5叫作二元二次方程。

师：非常好，这位同学的迁移能力也很强，但是大家在前面得出的二元一次方程的定义是“含有2个未知数，未知数的次数都是1次的整式方程为二元一次方程”，而方程xy-y=5中含有2个未知数，分别是x，y，且它们的次数都是1次，那么方程xy-y=5应该还是叫二元一次方程才对呀。

此教学环节中，学生利用自己得出的数学结论（二元一次方程的定义）解决问题，将实践所得结果与预期结果相比较，在实践过程中产生了矛盾，学生开始批判、质疑前期得出的数学结论。

（四）评价选择与信息反馈（Ⅰ）

师：上面争论的问题出在哪里？是习题有问题？还是大家已得出的二元一次方程的定义存在问题？如何修改呢？

生：应该是我们得出的二元一次方程的定义有错误，应将“未知数的次数都是1次”改为“含未知数的项的次数都是1次”。

（五）反思总结与获得结论（Ⅰ）

学生在解决问题6的过程中，发现已得出的二元一次方程的定义存在问题，于是在错误结论的基础上进行修改完善，一起得到二元一次方程的定义为“含有2个未知数，且所含未知数的项的次数都是1次的整式方程为二元一次方程”。

（六）试误逼近与批判质疑（Ⅱ）

师：大家对问题6中的③存在争论，若[x=52x+y=40]也是二元一次方程组，则我们已经得出的二元一次方程组的定义就有错；若我们已经得出的二元一次方程组的定义是正确的，则[x=52x+y=40]就不是二元一次方程组，那应该称[x=52x+y=40]为什么呢？请大家认真思考，可以讨论交流。

生：应该将[x=52x+y=40]称为二元一次方程组（要不然这类方程组就没有名字了），我怀疑是我们已总结出的二元一次方程组的定义存在问题。

此教学环节中，学生利用自己得出的数学结论（二元一次方程组的定义）来判断问题6第③题，将实践所得结果与预期结果相比较，在实践过程中同样产生了矛盾，促使学生开始批判、质疑前期得出的数学结论。

（七）评价选择与信息反馈（Ⅱ）

师：上面争论的问题中，有同学质疑大家已得出的二元一次方程组的定义存在问题，那需要如何修改呢？

生：应将“2个二元一次方程所组成的一组方程”改为“一共有2个未知数的2个一次方程组成的一组方程”。

（八）反思总结与获得结论（Ⅱ）

经过学生的不断修改完善，最终得到正确的结论“一共有2个未知数的2个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组”，如[x=7y=3]也是一个二元一次方程组。

【设计意图】借助问题6，引导学生经历试误逼近与批判质疑、评价选择与信息反馈、反思总结与获得结论的完整过程，最终获得二元一次方程和二元一次方程组的概念，培养了学生的批判、质疑、思辨能力和严谨的学习态度。

四、数学批判性思维培养的教学思考

批判性思维对于创新能力是不可或缺的重要影响因素。我国中学生普遍缺乏质疑精神和对知识的评价选择能力，在学习过程中容易形成思维定式，过多依赖标准答案，但这不能说明学生天生批判质疑和创新的潜能薄弱，而是与课堂教学、评价标准等息息相关。批判性思维的缺失会导致创新能力的不足，因此，一线教学应该重视学生批判性思维的培养。

（一）为学生提供独立发现、独立思考的机会

真理的发现总是从矛盾和问题开始，问题是真理发现的出发点。解决问题仅仅是实践技能而已，而发现新问题、提出新问题却需要创造性的想象力。学生拥有丰富的、合乎实际的感性材料，才会有思维加工的对象，才有可能产生一系列思维活动。因此，批判性思维培养的首要任务是教师在教学实践中为学生提供真实材料，设计活动引导学生对材料进行去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的思维加工，为学生在实践活动中独立发现问题、提出问题提供机会，提升学生用数学的眼光看世界的能力。

（二）为学生创设试误逼近、批判质疑的过程

真理是在实践过程中通过试误逼近而被发现的，试误逼近是真理发现的途径之一，是一个实践过程，也只有在实践的过程中才能完成试误逼近。同时，实践过程中必定出现观念不一致、主客体之间争辩和批判质疑等情况。为此，批判性思维的培养需要教师在教学实践中精心创设试误逼近、批判质疑的教学活动，可行的办法是用认识指导实践，如用初步获得的二元一次方程（组）的定义去试解问题，看看是否促使實践的发展，问题是否得到解决。如果不能解决问题，则证明原有认识或已得数学结论是错误或者局部错误的，需要重新认识对象，甚至修改原有的数学结论，再通过不断的教学活动排除错误，如此循环反复，最终获得正确结论。试误、质疑的实践活动培养了学生的批判质疑的科学态度，提升了学生用数学思维思考世界的能力。

（三）为学生预留探讨问题、反思总结的时间

真理的获得过程中，人脑进行着反复的评价、比较和选择的操作，甚至会经历好几次的试误、失败，进而从失败的多条途径中找到正确的方法，最终获得正确的结论。经历这样的教学活动必定需要花费一定的时间，为此，批判性思维的培养需要教师在教学实践中优化教学内容和教学活动，不仅要为学生经历完整的、有效的试误逼近、批判质疑的学习活动提供充足的时间，还要注意预留探讨问题、反思总结的时间。

参考文献：

［1］林崇德. 中国学生核心素养研究［J］. 心理与行为研究，2017（2）：145-154．

［2］孔凡哲，史宁中. 中国学生发展的数学核心素养概念界定及养成途径［J］. 教育科学研究，2017（6）：5-11．

［3］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022：6．

［4］岳晓东. 批判思维的形成与培养：西方现代教育的实践及其启示［J］. 教育研究，2000（8）：65-69．

［5］刘其知. 数学批判性思维与试误教学的探索［D］. 石家庄：河北师范大学，2007：5．

［6］舒炜光. 波普尔的科学哲学［J］. 吉林大学社会科学学报，1987（3）：40-47．

［7］顾春明. 论波普尔的“四段图式”［J］. 社会科学辑刊，1998（4）：9-12．

［8］弗赖登塔尔. 数学教育再探：在中国的讲学［M］. 刘意竹，杨刚，等译. 上海：上海教育出版社，1999．

（责任编辑：潘安）

【作者简介】张东年，一级教师，主要从事数学史与数学教育研究；贾随军，教授，浙江省中青年学科带头人，美国特拉华大学访问学者，主要从事数学课程与教学论研究。

【基金项目】甘肃省教育科学“十四五”规划2023年度课题“基于新课标的数学中考试题情境量化分析与命题策略研究”（GS〔2023〕GHB0633）