程孝丽 张维忠

摘 要：基于文化回应的数学公式教学，应该设计文化关联的教学情境，组织文化适切的课堂活动，引导学生完整经历“归纳—猜想—证明—运用”的过程，让学生在理解与掌握数学公式本身的同时，感受数学公式背后的文化意蕴。基于此，设计与实施《平方差公式》一课，主要包括三个环节：设置文化关联的情境背景，初步感受数学公式与生活实际的紧密联系；開展文化适切的合作探究，体验数学公式的推导与证明；指向文化体验的公式应用，生成对数学公式的文化性理解。

关键词：初中数学；文化回应；数学公式教学；平方差公式

本文系浙江省教育科学规划2023年度课题“新生代乡村教师文化回应教学能力结构模型及培养研究”（编号：2023SCG373）的阶段性研究成果。】

长期以来，数学公式教学普遍以“解题训练”为主，让学生记忆冰冷的公式、进行机械的模仿，忽视知识背后的“来龙去脉”。这不仅难以激发学生的数学学习兴趣，也容易造成学生陷入食而不化的学习困境。基于文化回应的数学公式教学，应该设计文化关联的教学情境，组织文化适切的课堂活动，引导学生完整经历“归纳—猜想—证明—运用”的过程，让学生在理解与掌握数学公式本身的同时，感受数学公式背后的文化意蕴。这对于改善当下的数学公式教学，促进学生的深度学习，具有重要意义。［1］本文展示一节基于文化回应的数学公式课的教学与思考。

一、 教学思路

“平方差公式”是浙教版初中数学七年级下册第3章《整式的乘除》第4节《乘法公式》第1课时的内容。“整式的乘除”是进一步学习因式分解、分式及其运算等代数知识的重要基础，且较为广泛地运用于实际生活和生产中。“平方差公式”作为“乘法公式”的起始内容，其“归纳—猜想—证明—运用”等学习思路与方法为“完全平方公式”“勾股定理”的学习奠定了方法论基础。基于此，根据“文化回应数学教学”理念，《平方差公式》一课的教学思路如下：在情境导入、引出课题阶段，以亚运会期间招待客人的本地特产——金华酥饼的包装计重问题为背景，让学生感受到生活中处处有数学，数学能够给生活创造便利；在温故知新、获得公式阶段，充分运用学生的已有知识与文化背景，从引入的“数”到一般化的“式”，以多项式乘法为基础创设问题，引导学生经历从特殊到一般的归纳过程，得出并理解平方差公式，然后引导学生用自己的语言抽象概括公式的结构特点并补充、修正，进而揭示平方差公式的本质；在拼图验证、表征公式阶段，通过几何方法的证明，自然而然地引出中国古代的“出入相补原理”，组织学生采用小组合作、动手操作等形式加以验证，从几何的角度说明平方差公式的推导；在学以致用、深化理解阶段，结合平方差公式在数学中的简单运用、变式运用和在生产、生活中的实际运用设计教学任务，让学生进一步感受数学与生活的紧密联系。

二、 教学设计与实施

下面重点对本节课核心教学环节的设计与实施进行说明。

环节1：设置文化关联的情境背景，初步感受数学公式与生活实际的紧密联系。

任务1：出示图1、图2。浙江金华是2023年杭州亚运会的分会场，作为东道主，你能给客人介绍一下我们金华的特产之一——金华酥饼吗？

任务2：热情的金华人民打算用酥饼招待远道而来的客人。某酥饼店计划制作一批礼盒装。每盒有18个独立包装的小酥饼，每个小酥饼大约22克。请问：每个礼盒净重大概多少克？

该环节的设置旨在通过生活中的数学巧算问题引出新课。紧跟“金华是2023年杭州亚运会的分会场，金华人民选取家喻户晓的特产‘金华酥饼作为东道主的招待美食之一”这一时事，设置贴近学生生活的情境任务，拉近学生与数学之间的距离，让学生体会到数学能够带来生活便利，同时增强学生对家乡的自豪感。教学中，通过“速算王”的“绝招”，激发学生的好奇心和求知欲，自然地引出新课。

环节2：开展文化适切的合作探究，体验数学公式的推导与证明。

1. 发现公式，揭示本质

任务3：（1） 现有两个不知道大小的数，请你随意用两个字母表示这两个数；（2） 请把这两个数的和与差分别用字母表示；（3） 请将所得的和与差相乘并化简。

学生独立完成，教师巡视指导，然后请三名用不同字母表示和计算的学生上台板演。结果如下：（1） （ｍ+ｎ）（m-n）=m2-mn+mn-n2=m2-ｎ2;（2） （x+y）（x-y）=x2-xy+xy-y2=x2-y2;（3） （p+q）（p-q）=p2-pq+pq-q2=p2-q2。

追问：观察三位同学的运算结果，有什么相同之处？请你概括出这三个式子的共同结构特征。

引导学生抽象概括出“两数和与这两数差的积等于这两数的平方差”。

任务4：（出示图3）观察、思考平方差公式的结构特征，用自己的语言描述。

师生合作，共同揭示公式的结构特征。

追问：下列变形的平方差公式正确吗？说明理由。（1） （-a+b）（-a-b）=a2-b2；（2） （a-b）（-a-b）=b2-a2。

师生再次总结公式的结构特征和字母a、b的代表性。

该环节的设置旨在引导学生归纳出平方差公式，揭示该公式的本质特征。从课前引入的特殊的“数”到任务3中学生选取的不同的字母，符合初中生由数到式的认知特点；根据三位学生给出的式子，再次由特殊到一般，抽象概括出平方差公式。从文化回应的角度来看，任务3使用学生的知识架构与先前经验，使得数学教学与学生的文化背景、已有经验建立起有意义的联系，为后面的学习创造更深层次的环境。任务4中，学生的“土味”数学阐述表明不同文化背景的学生对公式特征的归纳存在一定的差异。教师在认可学生正确的描述后加以完善，用规范的文字语言和几何语言高度概括，突破公式字母意义的局限，建立起有效的“条件反射”，而不是机械记忆。注重不同文化背景的学生数学语言的发展，也是“文化回应数学教学”的内在要求。教师应该积极回应学生的对话：一方面给予肯定与鼓励，一方面及时修正与补充。

2. 几何验证，表征公式

任务5：在边长a米的大正方形纸板的一角挖掉一个边长为b米的小正方形（如图4），经裁剪后拼成了一个大长方形（如图5），问：（1） 你能分别表示出裁剪前后的纸板面积吗？（2） 你能得到一个怎样的结论？

学生通过图形的剪拼验证平方差公式之后，教师介绍中国古代的“出入相补原理”，让学生初步体验运用该原理处理面积问题的方法。

追问：若对图4所示的纸板只剪一刀，除了裁剪成图5所示的图形，是否还可以裁剪成其他图形来计算面积呢？你有什么发现？请以小组为单位，动手操作完成。

学生小组合作完成之后，教师指名学生上台展示，得到能拼出的图形有矩形、梯形和平行四边形（分别如图6—下页图8所示），每个拼图都满足平方差公式。

该环节的设置旨在从几何的角度验证平方差公式，让学生对该公式有全面、深入的理解。学生初次通过拼图活动来验证等式，缺乏相关的活动经验。因此，教师通过问题引导学生，让学生对“割补法”有直观的感受，进而引入中国古代的“出入相补原理”，让学生感知该方法的由来，感受中国古代数学的魅力。以此为“脚手架”，让学生小组合作探究，以期达到发展学生思维，开阔学生思路的教学效果。教学中，学生探索的过程充分展示了学生自主建构新知的过程，深刻体验了出入相补原理。其中渗透的面积割、补、拼等重要的思想方法以及数形结合和转化的思想方法，也为接下来的学习奠定了基础。

概而言之，以“用自己的语言表达平方差公式的特征”“小组合作、上台展示几何方法验证平方差公式”等活动形式，为不同文化背景的学生提供了充分的参与和交流的机会；通过师生合作、组内合作，让学生自然而然地掌握了本节课的重点，突破了本节课的难点。

环节3：指向文化体验的公式应用，生成对数学公式的文化性理解。

任务6：出示金华体育馆外观照片。作为赛事场馆之一的金华体育馆为迎接亚运会的到来，对原来边长为a m的正方形花坛进行改建，使其纵向缩小2 m，横向扩大2 m，成为长方形花坛（如图9），问：改建后花坛的面积有没有变化？如果有变化，变化多少？

任务7：回顾任务2，分析能够快速运算的技巧与方法。

任务8：已知两个正数的和为20，积为96，求这两个数。

能回答出来的学生基本上采用试根法凑答案。教师在认可“凑”的基础上介绍丢番图所采用的“和差术”。

追问：“和差术”设元的依据是什么？

该环节的设置旨在以举一反三的方式考查学生对平方差公式的灵活运用。三个任务环环相扣。任务6和任务7基于任务1和任务2的亚运会情境，考查平方差公式在生产、生活中的实际运用。其中，任务7是对任务2的呼应，在新知学习后再解决学习前的问题，能够加深学生对平方差公式的印象，也能让学生意识到数学公式的运用给生产、生活带来的便利。任务8的设计基于任务7——均是数字计算中平方差公式的运用。特别地，在此引出丢番图的“和差术”：假设所求两数分别是10+x和10-x，则（10+x）（10-x）=96，由平方差公式得100-x2=96，x2=4，x=2，故所求两数分别是12和8。让学生重温古人运用平方差公式解决问题的方法，体会数学文化的多元性，让学生的数学学习成为一场文化体验之旅，引导学生体会数学公式背后蕴含的文化意蕴，实现对数学公式的文化性理解。［2］

三、 教学反思

（一） 设计文化关联的教学内容，关注文化的多样性

“文化回应数学教学”主张在文化、学生与数学之间寻找联结，让学生在自身文化基础上参与数学学习，感受数学的多元文化样态，使学生的数学学习真正发生。因此，基于文化回应的数学公式教学，需要设计文化关联的教学内容，关注文化的多样性。

一方面，重视与学生所处真实日常生活情境的关联。《平方差公式》一课，任务1、任务2和任务6的素材，都是学生熟悉且引以为傲的金华特产或标志性建筑。从贴近现实生活的情境入手，能拉近数学与生活、数学与学生之间的距离，改变数学在学生心目中“冰冷”“乏味”“无用”的印象，有效调动学生学习数学的积极性。生活中，“朴素的数学”“街头数学”比比皆是。相关的问题都可以让学生在数学与生活之间建立有力的联系。只有把学生对数学的理解植根于学生的文化实践中，才能真正让学生感受数学文化的魅力，成为生活中问题解决的贡献者。

另一方面，重视与数学史的融合。数学史是数学文化的重要组成部分，若能有效地将数学史融入数学教学，则不仅能增加教学的趣味性，激发学生学习的积极性，而且能帮助学生对数学有更广、更深的认识与理解。《平方差公式》一课，任务5引入的“出入相补原理”为学生从几何角度验证平方差公式提供了思考的方向与路径。在动手操作的过程中，学生重走古人之路，体验平方差公式的几何论证。其中渗透的数形结合与转化的思想方法，对接下来的学习起着引领作用，产生触类旁通的效果。任务8引入的“和差术”让学生深刻体会到古人的智慧，理解西方文化熏陶下数学家的思维方式：尽管古人没有用简洁的字母表达公式，但这并不影响他们对平方差公式结构与算理上的认识。这拓宽了学生的数学视野，丰富与完善了学生对平方差公式的理解。

（二） 创设权力共享的课堂模式，关注文化的再建构

“文化回应数学教学”更加关注学生的课堂参与和认知发展，提倡为不同文化背景的学生提供公平而有质量的学习机会，通过教师与学生、学生与学生、学生与教材的交流与回应，帮助学生建构属于自身文化的意义空间，以实现对数学的深度理解。

因此，基于文化回应的数学公式教学，要秉持以学生为主体的理念设计各个环节，让学生有充分、公平的课堂参与机会。《平方差公式》一课，8个任务在两个班的教学实践中分别用了32分钟和34分钟，特别是任务4和任务5，两个班差不多都用了10分钟，目的是让每一位学生都有较为充分的时间与教材、教师、同伴对话，开展数学交流，从而将本节课的重难点“平方差公式的探索与产生过程”“平方差公式的结构特征”等数学知识，转化为与学生自身文化相关的个体知识。

此外，在学生参与的过程中，教师还要积极回应学生的表达。一方面，肯定学生正确的回答，让学生获得成就感，建立学习数学的自信心；另一方面，關注学生在回答中暴露出来的问题，给予针对性的修正与补充。《平方差公式》一课，完成任务4的过程中，学生用自己的语言归纳平方差公式的结构特征时，会存在表达只有自己明白或描述不完整等情况。这表明，学生理解与掌握数学语言面临困难。这时，教师用规范的文字语言和几何语言做高度概括，让学生通过与自己表述的融合再建构，实现对平方差公式的结构特征的深入理解。

参考文献：

［1］ 孙道斌.例谈数学公式课的教学［J］.山东教育，2013（21/22）：62-64.

［2］ 张维忠.数学教育中的数学文化［M］.上海：上海教育出版社，2011：218.