李树臣

摘要：《义务教育数学课程标准（2022年版）》增加了一个描述过程目标的行为动词，即“感悟”，并将其解释为“在数学活动中，通过独立思考或合作交流，获得初步的理性认识”。强调“感悟”就是强调从感性经验到理性认识的活动过程，可谓把握了数学学习的精髓。数学概念教学要引导学生在实践和比较活动中，感悟本质属性与独特价值；数学命题教学要引导学生在发现和应用过程中，感悟数学思想与结构特征；数学证明教学特别要引导学生证明看上去“不好”证明和“不用”证明的命题，感悟逻辑方法与求真精神。

关键词：初中数学；感悟；数学活动；理性认识；数学新课标

一、数学新课标中增加了一个行为动词：感悟

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“旧课标”）指出，数学课程目标包括结果目标和过程目标，结果目标使用“了解”“理解”“掌握”“运用”等行为动词表述，过程目标使用“经历”“体验”“探索”等行为动词表述。［1］而《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）在此基础上，增加了一个描述过程目标的行为动词，即“感悟”，并将其解释为“在数学活动中，通过独立思考或合作交流，获得初步的理性认识”。［2］

检索旧课标，发现其中提及“感悟”仅25次。而检索新课标，发现其中提及“感悟”达174次：课程目标部分16次，课程内容部分85次（其中，小学部分54次，初中部分31次），学业质量部分2次，课程实施部分7次，附录部分64次（附录1中61次，附录2中3次）。简单举例如下：

课程目标部分有“能够理解自然现象背后的数学原理，感悟数学的审美价值”［3］“通过经历用数学语言表达现实世界中的简单数量关系与空间形式的过程，学生初步感悟数学与现实世界的交流方式”［4］等。

课程内容部分有“了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，感悟数的扩充”［5］“在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上，经历得到和验证数学结论的过程，感悟具有传递性的数学逻辑”［6］“会计算四分位数，了解四分位数与箱线图的关系，感悟百分位数的意义”［7］“在社会生活和科学技术的真实情境中，结合方程与不等式、函数、图形的变化、图形与坐标、抽样与数据分析等内容，经历现实情境数学化，探索数学关系、性质与规律的过程，感悟如何从数学的角度发现问题和提出问题”［8］等。

学业质量部分有“认识自然数的一些特征，理解小数和分数，能进行简单的小数和分数四则运算和混合运算，感悟运算的一致性”［9］等。

课程实施部分有“提供丰富的问题情境、充分的思考空间，让学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等数学活动过程，帮助学生感悟基本思想，积累基本活动经验”［10］等。

附录部分有“借助历史资料说明人们最初引入负数的目的，感悟负数的本质特征”（附录1例64）等。

二、对“感悟”的认识

从新课标对“感悟”的解释，以及关于“感悟”的具体表述中，可以看出，感悟强调从感性经验到理性认识的活动过程，它必须与经历的过程、实现的结果连在一起使用，表述为“在……过程中，感悟……”。

之所以强调“感悟”，与数学科学的特征、数学教学的目标有重要关系。

“数学是思维的科学”，追求结构化、体系化，说明数学知识具有探索性、过程性，融于某些活动（经验）；“数学又是模式的科学”，追求一般化、形式化，说明数学知识具有普适性、抽象性，属于某种规律（本质）。数学教学应该引导学生经历探索的过程，获得普适、抽象的知识。而人（尤其是中小学生）的认识具有较强的“具身性”，需要经历具体、直观的感官活动，才能获得普适、抽象的思维认识。

此外，数学规律（本质）是可以不断提升层级的大观念（大概念），不断变“大”，也就越来越“活”，最终成为“带得走”“用得上”的数学素养（教学思想），这是数学教学的终极目标。正如当代认知心理学家、哲学家波兰尼所说的“我们所认识的多于我们能告诉的”，这些“大”而“活”的知识很多都是“缄默知识”（属于“道”的层面）。这些知识由于“缄默”特征，尤其无法直接传授给学生，只能靠学生在数学活动中自己“感悟”。因此，史宁中教授在谈到数学核心素养的培养时，特别强调：“学生本人参与到数学活动中非常重要。一个人会不会想问题是自己想积累的经验造成的，会不会做事情也是实践的结果。这些不是教师教出来的，而是自己悟出来的。”［11］

可见，强调“感悟”就是强调“在数学活动中学习数学”，就像斯托利亚尔所说的“数学教学应该是数学活动的教学”［12］，可谓把握了数学学习的精髓。

三、关于“引导学生感悟”的思考

从教学的角度看，新课标强调“感悟”，就是要求教师“引导学生感悟”：精心设计问题或任务情境，引导学生开展数学活动，从感性经验中获得理性认识。理性的认识有概念、判断和推理三种形式。相应地，数学知识可以逻辑地分解为数学概念、数学命题和数学证明三个部分。下面结合具体案例，谈谈在三个部分的教学中如何引导学生感悟、引导学生感悟什么。

（一）数学概念教学：从实践到比较，感悟本质属性与独特价值

数学概念是揭示现实世界空间形式与数量关系本质属性的思维形式。决定数学教学效果的首要、基础和贯穿始终的因素就是概念要明确。［13］初中阶段大约有400个数学概念，它们大多有具体的现实背景（例子）。教师在教学中，要从现实背景出发，通过具有实践性的活动，并联系有关的概念比较辨析，从而引导学生感悟数学概念的本质属性与独特价值。

【案例1】图像法的建立

在学生认识了常量、变量和函数概念的基础上，可以通过以下活动引入函数的图像表示法。

1.实验操作

（1）将一个透明的饮料瓶均匀地划上刻度，使最小单位为毫米。在饮料瓶盖中心位置按竖直方向打一小孔，再将一根适当粗细的塑料吸管的一端插入瓶盖。向饮料瓶中注入大半瓶水，拧紧瓶盖，用胶带纸将瓶口及塑料管与瓶盖的接口封好，使其不漏水。如图1所示，将饮料瓶倒置并固定在鐵架上，在饮料瓶下方放置水杯，将引出的塑料管用铁夹夹住，记下瓶内水面的高度。

（2）每四位同学一组，分别负责看秒表、控制铁夹、观察水面高度、记录数据。打开铁夹，使水由塑料管流入水杯，在表格中依次记下从放水开始到放水10秒、20秒、30秒……100秒时瓶内水面下降的高度。

（3）将表格中每对放水时间（t）和水面下降高度（L）的数据作为点的坐标，在以t为横轴、L为纵轴的平面直角坐标系中描出各点，并将描出的点用平滑的曲线依次连接起来。

2.观察思考

（1）从放水开始到放水10s时，饮料瓶内水面下降的高度是多少？从放水10s时到放水20s时呢？

（2）随着放水时间t的逐渐增大，饮料瓶内水面下降高度L的变化趋势是怎样的？

（3）t每增加10s，L的变化情况相同吗？

（4）估计当t=55s时，L的值是多少？你是怎样估计的？

（5）在水面下降高度L和放水时间t的变化过程中，L是t的函数吗？它们之间的函数关系是如何表达的？

（6）通过上面的问题，你体会到用图像表示函数关系有什么优点？

“实验操作”环节设计了3个任务，给出了图像法产生的现实背景。学生在这3个任务的引导下，通过“实验操作—记录数据—描点连线”等一系列活动得到相应的表格和图像（一个小组得到了表1和下页图2）。“观察思考”环节则基于得到的表格和图像，设计了层层深入的6个问题。学生在这6个问题的引导下，可以基于实践以及比较活动，充分地感悟到图像法的意义（表示变量之间的函数关系）、本质（以形助数）和价值（更加直观地表示出无法用表达式表示的函数关系）。

（二）数学命题教学：从发现到应用，感悟数学思想与结构特征

数学中的公理、定理、公式、法则、性质等泛称为“数学命题”。这些命题都是基于概念，通过推理（包括合情推理和演绎推理）得到的；也是进一步得到其他命题的依据。因此，数学命题的教学需要特别关注其发现过程和应用过程。

一方面，教师可以设计多种表征和推理活动，引导学生发现数学命题，感悟有关的数学思想。

【案例2】平方差公式的发现

平方差公式是最基本、用途最广泛的乘法公式之一。教学中，可以设计以下活动，引导学生发现平方差公式，感悟归纳、演绎、数形结合等数学思想。

（1）时代中学计划将一个边长为10米的正方形花坛，改造成长为12米、宽为8米的长方形花坛，你会设计改造后的花坛吗？如果改造成长为11米、宽为9米的长方形花坛呢？

（2）计算改造后花坛的面积，与改造前花坛面积相比，你有什么发现？

（3）将如图3所示的长方形剪成两个小长方形（a＞b＞0），再把这两个小长方形拼成如图4所示的图形，分别计算剪拼前和剪拼后的面积，你有什么发现？

（4）设a、b都是有理数，利用多项式的乘法公式计算这两个数的和与这两个数的差的积，你能推导出一般性的结论吗？

4个活动分别引导学生：感受实际背景及几何意义；通过具体性的计算，归纳发现平方差公式的结构；通过图形的转化，直观发现（解释）平方差公式；通过一般性的计算，演绎发现（推导）平方差公式。在此过程中，学生不仅可以理解平方差公式的实质，而且可以充分感悟数学发现的一般方法，感受数学思想的魅力。

另一方面，教师可以设计多种变式练习活动，引导学生应用数学命题解决有关问题，感悟命题的结构特征。

（三）数学证明教学：从“不好”到“不用”，感悟逻辑方法与求真精神

数学证明是在特定的公理系统中，根据一定的规则或标准，由公理和定理等推导出某些命题的过程。上面谈到的数学命题的发现与应用已经涉及广义的数学推理了，这里谈数学证明，强调的是基于一些显然的公理（基本事实），通过严格的演绎推理，保证数学命题的正确性。尽管现代数学观强调数学不只是严格的演绎逻辑体系，也充满直觉、猜想等合情推理方面的探索，但是，从学科比较的视角来看，严格的演绎推理依然是数学最重要的特征，并且是数学最基本的追求——大物理学家狄拉克曾说：“我不管什么证明，我只想知道真相。”［14］因此，数学教学需要重视证明的教学，需要引导学生在证明活动中感悟严格逻辑的方法程序（如演绎推理的三段论格式、直接证明的分析与综合方法、间接证明的反证法以及举反例）和数学求真的精神品质（包括证明的必要性）。

具体来看，特别要重视一些看上去“不好”证明和“不用”证明的命题。

前者可以引导学生充分感悟严格逻辑的方法程序，尤其是间接证明的方法。比如，“2是无理数”看起来就“不好”证明，教师可以引导学生利用反证法证明，从而感悟间接证明的巧妙，体会命题与其逆否命题之间的等价关系，以及矛盾律和排中律。

后者主要是指“看似正确，其实错误”的命题，即违背直觉的命题，可以引导学生充分感悟数学求真的精神品质。比如，“两条边与一个角分别对应相等的两个三角形全等”，“图5所示的正方形可以剪拼成图6所示的长方形”，以及“一个班50个学生中有两个学生的生日是同一天的可能性不大”，等等。

此外，还有一些命题过于显然，看上去既“不好”也“不用”证明。对此，需要加以特别的重视。比如平行线性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。它的证明可以引导学生感悟反证法的一般程序，以及公理化的思想。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2012：4.

［2］［3］［4］［5］［6］［7］［8］［9］［10］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：181，5，6，58，71，74，7778，82，94.

［11］史宁中.数学课程标准修订与核心素养［J］.教育研究与评论，2022（5）：22.

［12］A.A.斯托利亚尔.数学教育学［M］.丁尔陞，等译.北京：人民教育出版社，1984：10.

［13］薛茂芳.数学概念及其教学（修订版）［M］.北京：光明日报出版社，2013：前言.

［14］张奠宙，过伯祥，方均斌，等.數学方法论稿（修订版）［M］.上海：上海教育出版社，2012：36.