［摘  要］ 随机应变的教学能力，反映一个教师的教育智慧与教育艺术水平. 在教学中，当学生思维受阻时，教师该采取怎样的应对措施？是按照原定计划继续授课，还是顺着学生的思维进行探究？这就要求教师有精准的判断力与随机应变的教学能力. 文章从学生思维的疑惑处、错误发生处、课堂节外生枝处以及学生思维的肤浅处等方面，具体谈谈如何把握好引导时机，促进学生思维的发展.

［关键词］ 引导时机；思维发展；随机应变

作者簡介：赵轲菊（1982—），硕士研究生， 中学一级教师，从事高中数学教学工作，曾获江阴市“教学能手”称号.

波利亚认为，培养学生的思维能力与品质，是数学教学的主要目的. 确实，数学是思维的体操，当学生思维遇到障碍时，需要教师适时引导，帮助学生渡过难关，顺利进入知识探索状态. 这就要求教师有极强的业务水平与应变能力，能在关键时刻提出建设性意见，临危不乱，在适当的启发中，促进学生思维的发展. 为此，本文就如何把握好引导时机，谈一些看法.

引导于学生的疑惑处

面临一个新的知识，学生出现疑惑属于正常现象. 作为教师，应用敏锐的眼光发现学生的问题，并及时、准确地进行引导，将学生的思维导向问题的深处，鼓励学生自主判别问题出在哪里，找出各种解决问题的思路或方法的利弊，达到自主探索、深入理解的目的.

案例1 “直线的倾斜角与斜率”的教学

当学生对倾斜角的概念有所了解后，则须引入“斜率”这个新的概念. 教材中明确提出，一条直线的倾斜角α的正切值称为该直线的斜率. 面对这个解释，学生提出了自己的疑惑：斜率为什么非要用α的正切值来表示呢？是否可以用正弦值、余弦值来表示？

学生提出这个疑惑，说明他们的确在思考. 若教师用“教材就是这么规定的”来搪塞学生，只会让学生更加疑惑：教材为什么要这么规定？老师自己是不是也不知道为什么？也有一些教师稍微民主，通过反例法与学生一起验证用正弦值与余弦值来表示斜率不合适，但仍然无法从根本上打开学生心中的“结”.

面对学生在此处的疑惑，笔者认为，可在此处设计几个引导式问题，不仅能打消学生的疑惑，拉近师生的距离，还能让学生获得良好的数学思想. 当下次遇到类似问题时，就能使用类似方法，自主探索，获得答案.

问题1：请大家建立一个平面直角坐标系，并在其中画出下列各个方程的图象，y=x+1，y=x+1，y=－x+1.

问题2：请大家仍然在这个平面直角坐标系中，画出过点（0，1），倾斜角分别为45°，60°，135°的直线.

学生在以上两个问题作图的过程中惊奇地发现，虽然两个问题表面上完全不一样，但画出来的图却是一样的. 鉴于此，师生出现了以下对话：

师：观察第一个问题，这三个方程有什么区别？

生1：三个方程中x的系数不一样，它们分别是1，，－1.

师：再观察第二个问题，这三条直线有什么区别？

生2：主要区别于倾斜角不一样.

师：由此大家有什么发现吗？

生3：将两个问题对应起来看，第一个问题中x的系数，正好是第二个问题中对应倾斜角的正切值.

师：这是一种偶然现象吗？现在请大家看屏幕（用几何画板演示，直线倾斜角的正切值和x的系数始终保持一致）.

随着教师适当的引导与几何画板的使用，学生从自主探索与直观演示中发现直线倾斜角的正切值和直线方程的关系，由此从本源上明白为什么要用直线倾斜角α的正切值来刻画直线的斜率.

此教学过程，面对学生的疑惑，教师没有选择逃避或反证，而是抓住这个契机带领学生亲自探索问题的答案. 学生在对两个问题的操作、观察与分析中，自主归纳出了斜率这个概念，而几何画板的介入，让学生对斜率产生了更加直观、深刻的认识.

教师在整个过程中，一直充当着一位合格的引导者，鼓励学生在自主探索中寻求问题的真相，整个交流过程气氛和谐，是以学生为主体、教师为引导者的教学模式. 这种方式，既肯定了学生的想法具有探究价值，又能培养学生的探索与思考能力，使学生知其然更知其所以然，有效促进学生数学思维的发展.

引导于学生的错误处

学习过程中出现一些错误是在所难免的，细细分析这些错误产生的原因，不外乎思维不深刻、理解偏差或看待问题的角度或方式不准确等. 将错误作为引导的切入点，是实现有效教学的契机. 教师在错误发生处提出相应的问题，不仅能提高学生对问题的辨析能力，还能让学生学会在错误中反思，产生新的感悟，为解题能力的提升奠定基础［1］.

在教学中，学生常会出现这样一种情况：多种想法交织在一起，对问题处于难以判断与取舍的状态，觉得一个问题用这种方法去理解也对，用那种方法亦可，但多种方法却呈现出了不一样的结论. 这种情况，常常让学生百思不得其解，觉得自己的思路并没有问题，结论却不一样，那么问题到底出在哪儿呢？

案例2 “不等式”的教学

问题：已知实数a，b，c，d中，a2+b2=1，且c2+d2=9，求证：ac+bd≤3.

学生经过自主分析与尝试，有的运用教材所介绍的分析法、比较法与综合法来解决本题，有的提出了其他新的解题方法，于是笔者鼓励学生将自己的解题方法分享给大家，其中有学生就展示了他的综合法：

因为ac≤（a2+c2），bd≤（b2+d2），所以ac+bd≤（a2+c2）+（b2+d2）=5.

此方法所获得的结论与求证的结论不一致，到底是哪个环节出了问题呢？正当大家百思不得其解时，笔者瞅准时机，提出：若要让ac≤（a2+c2）与bd≤（b2+d2）的等号成立，需要具备怎样的条件？

学生瞬间恍然大悟，如果a，c相等，同时b，d相等，就存在a2+b2=c2+d2，这与题设条件是矛盾的，也就是说ac≤（a2+c2）与bd≤（b2+d2）的等号不可能同时成立，因此ac+bd不可能取最大值5.

在学生思维有所突破后，笔者因势利导，提出：刚才有同学提到用三角函数、向量等知识来证明，现在请大家试一试. 学生的探究热情被点燃了，经过一番讨论与交流，学生用向量、三角函数等知识进行了证明，具体如下.

方法1：设x=（a，b），y=（c，d），则x==1，y==3，所以x·y=ac+bd. 又x·y≤xy，所以ac+bd≤3.

方法2：根据a2+b2=1与c2+d2=9这两个条件，将点（a，b），（c，d）视为两个圆上的动点，因此可设a=cosα，b=sinα，c=3cosβ，d=3sinβ，则ac+bd=3cosαcosβ+3sinαsinβ=3cos（α－β）. 因为cos（α－β）≤1，所以ac+bd≤3.

在学生出现错误后，笔者并没有直接呈现正确答案，而是遵循学生的认知发展特征，因势利导地提出引导式问题，鼓励学生互动与交流，深化学生对不等式适用条件的理解与应用. 这样不仅加强了学生对知识间联系的认识，还有效拓宽了学生的视野，培养了学生的数学思维，为提高学生的解题能力奠定了基础.

引导于节外生枝处

不论教师如何精心设计，教学过程中都有可能出现预设外的问题. 面对这些突如其来的情况，作为教师应耐心聆听学生的想法，通过睿智的引导，让课堂在节外生枝处绽放出独有的光彩［2］.

案例3 “均值不等式”的复习

按照原本预设，笔者准备从一个生活实际中的最值问题出发，复习“均值不等式”. 但与学生探讨均值不等式的使用条件和结论时，一位学生在不等式的结构特征与原有认知建立联系的过程中提道：“均值不等式的应用，要求a，b均为正数，可见a，b，a+b，a·b都有一定的几何意义，貌似与圆中的线段有所联系？”

这是出乎笔者意料的问题，也是笔者从未想过的问题. 若笔者为了减少麻烦，将此问题布置到学生课后思考，也未尝不可，同时也不会影响原本预设的教学进程，但考虑到学生难得主动提出自己的想法，如果就这样简单打发了，学生以后还愿意提出问题吗？思于此，笔者决定顺着学生的思维往下探讨.

师：这个想法有创意，那么这个圆该怎么构造呢？

学生合作交流后提出：如图1所示，让AP=a，BP=b，以a+b为直径作一个圆，圆心为O. 过该圆上的点E作弦EF与AB垂直于P，根据相交弦定理可得a·b=AP·BP=PE·PF≤CO·OD==.

此过程既体现出了均值不等式的几何意义，又凸显出了一种新的证明均值不等式的方法（相交弦定理）. 笔者准备就此将学生的思路引回原计划的教学中来时，谁知一位学生提道：“教材中对于均值不等式只提到当a=b时取等号，如果a与b不相等时，a+b和2有多大差距呢？是不是可以从图1中获得结论？”问题提出后，还未等笔者开口，另一位学生就说道：“其实图1中存在‘a+b为一个定值’的隐含条件. ”

看到学生探究氛围如此浓厚，笔者当即决定放弃原计划的教学，与学生一起继续讨论本题. 从线段的运动来看，EF由点B到点O，如果是一个定值，那么的值则在不断地发生变化（由0增加到）. 在本节课结束时，笔者在原计划的基础上，特别添加了两项课后作业：①用思维导图的方式，画出本节课的知识结构；②将例题进行变式，作为课后作业.

本节课中，学生提出的问题不仅丰富，而且具有探索价值，所以笔者抛开了原计划，顺应学生的思路，与学生一起深入探索问题的本质. 这不仅体现着教师的教学水平，更重要的是拉近了师生的心灵距离，学生更加愿意表达自己的见解，从而实现教学相长.

面对课堂中的节外生枝，教师应耐心倾听，根据学生所提问题的价值性，来冷静判断接下来的教学方式. 若是值得探究的问题，教师则可顺应学生的思路，通过适当引导，启发学生思维；若是没有探究价值的问题，也应在肯定学生勇于表达与思考的基础上，不着痕迹地将学生引回原有的教学计划中来.

引导于思维肤浅处

课堂教学是一门技艺，体现的是教师的智慧与思想，更是一种艺术的表现［3］. 从教育的本质来说，教学的重点并不是知识传授，而是激励、唤醒与鼓舞. 当学生的思维处于一种肤浅的状态，且无法突围时，教师可顺着学生的思维牵一牵，适当的引导能激发学生产生主动探索的行为，尤其是启发式问题的引导，能放飞学生的思想，激发学生的想象，让学生的思考趋于深刻，思维逐渐成熟.

问之不切，则听之不专，因而取之不固. 有些问题看似浅显，却常受到学生的忽略，导致理解上出现了肤浅的状态. 面对这种情况，教师可适当地加大引导层次，尤其是在学生思维的浅显处注重引导，以激发学生的思维与想象，让学生的思维层层递进，达到深入理解的目的.

案例4 “导数概念（平均速度与瞬时速度）”的教学

师：已知一位运动员跑完100 m需要12秒，那么他在撞线时的速度是多少呢？

生（议论）：运动员跑步应该不是匀速的，不知道他的加速度是多少呀！

师：确实，起跑时加速度很大，中间一段路程基本为匀速，到冲刺阶段又存在加速的情况，所以整个跑步过程不是匀速前进的.

此时，学生的思维处于僵持的状态，无法进一步探讨这个问题. 教师在此刻进行引导，可帮助学生实现思维的突破.

师：我们都知道用路程除以时间获得速度，那我们能否找到一种与之相似的方法来描述撞线时的速度呢？

生4：能否用最后一秒的路程除以时间来求速度呢？

（這个想法得到很多学生的认可）

师：如果该运动员在第12秒跑了10 m，也就是说第12秒的平均速度为10 m/s，我们就用10 m/s这个近似值来描述该运动员撞线时的速度. 若最后0.5秒跑了5.5 m，则他冲刺终点的平均速度为11 m/s，也就是说他撞线时的速度为11 m/s. 现在请大家思考一下，我们应怎么描述短时间内的平均速度，才会显得更加精准呢？

生5：这么来看的话，就是时间取得越短，所获得的速度越精确.

生6：也就是说时间越小，越接近于0，所获得的平均速度与瞬间速度越接近.

师：有道理，那么平均速度和瞬时速度是一样的吗？

生7：不一样.

……

教材上所呈现的内容都是人类长期实践与编者精心思考后的精华，每个概念都经历了千锤百炼才形成，学生在初次接触时，难免会出现理解不深刻的情况. 作为教师，应立足学生的认知水平，有层次地进行引导，以揭示概念、法则或定理等的形成过程与本质，帮助学生从根本上理解并接受数学知识. 本次教学中，学生在教师的引导下，亲历了知识“再发现”与“再创造”的过程，自主揭露了平均速度与瞬时速度的本质，使学生在知其然且知其所以然中发展思维，建构新知.

总之，课堂引导不仅体现着教师的专业素养与应变能力，还体现着教学智慧与艺术. 作为教师，要有能力应对课堂的多变化，不断提升自己的专业水平与教育智慧，把握好引导时机，成为新课改的推进者，以及学生思维的引领者和促进者.

参考文献：

［1］ 李鹏，傅赢芳. 论数学课堂提问的误区与对策［J］. 数学教育学报，2013，22（04）：97-100.

［2］ 史宁中. 数学基本思想18讲［M］. 北京：北京师范大学出版社，2016.

［3］ 邵光华，章建跃. 数学概念的分类、特征及其教学探讨［J］. 课程·教材·教法，2009，29（07）：47-51.