王进 于涛

［摘  要］ 文章以“立体几何初步”中的“角的度量”教学设计为例，呈现了单元教学设计的完整流程，从数学分析、课标分析、教材分析、学情分析、评价分析等五个方面进行教学要素分析，从课时教学内容、单元教学目标、单元重点难点等三个方面进行单元框架设计，以具体课时的教学过程为例呈现出课时教学设计.单元教学设计主要有“横向迁移”和“纵向发展”两种类型，以及从“四基”“四能”到“三会”的主线.

［关键词］ 核心素养；单元教学；立体几何；角的度量；二面角

基金项目：广东省基础教育学科教研基地项目，广东省教育研究院中小学数学专项课题“基于大观念的高中数学单元教学实践研究”（GDJY-2022-M-b124），东莞市教育科研“十四五”规划课题“培养学生‘四能的数学探究活动校本课程研究”（2021GH165）.

作者简介：王进（1983—），本科学历，中学高级教师，广东省基础教育学科教研基地成员，主要从事高中数学教育教学研究工作，东莞市学科带头人、东莞市教学能手，曾获东莞市品质课堂教学能力大赛一等奖.

引言

单元教学设计是以教材为基础，用系统论的方法对教材中“具有某种内在关联性”的内容进行分析、重组、整合并形成相对完整的教学单元，在教学整体观的指导下将教学诸要素有序规划，以优化教学效果的教学设计［1］. 单元教学设计倡导把教学内容置于单元整体内容中去把控，更多关注教学内容的本质、蕴含的思想以及学生素养的培养，对改变教学过分关注具体知识点的倾向，拓展教学视野以及提高教学效率等有重要作用［2］.

钟启泉指出“核心素养—课程标准（学科素养/跨学科素养）—单元设计—课时计划”是环环相扣的教师教育活动的基本环节，要理解单元设计的价值和作用，它是撬动课堂转型的一个支点［3］. 在新课程改革的背景下，倡导教师关注发展学生核心素养的单元教学设计，从更为上位的视角开展整体教学，是一个重要的研究课题.下面笔者以“立体几何初步”中的“角的度量”教学设计为例，与读者共同探讨单元教学设计.

教学要素分析

教学要素分析是单元教学设计的关键环节，关系着单元教学何以构成一个“单元”. 教学要素分析包括数学分析、课标分析、教材分析、学情分析、评价分析等五个方面.

数学分析：“角的度量”是继空间中点、直线、平面之间的位置关系定性研究后的定量研究，是“异面直线所成的角（线线角）”“直线与平面所成的角（线面角）”“二面角”等基础知识学习后的基本技能学习.“角的度量”包括作角、证角、求角等环节，其中“作角”将空间角转化为平面角，体现了转化与化归思想.不论是位置关系的研究，还是度量关系的计算，教学往往更关注如何证明平行、垂直，如何求角（包括三角函数值）等显性知识的学习，而忽视借助位置关系、度量关系深入认识空间几何图形等隐性知识的学习. 因此，“角的度量”教学需要关注“根据几何图形研究角的问题”和“根据角的研究过程与结果认识几何图形”的双向教学视角.

课标分析：立体几何教学内容隶属于几何与代数主线，课标中有关“立体几何初步”的教学内容要求重点关注空间中点、直线、平面之间的“位置关系”，以及关系中的两类特殊情形——平行与垂直，对关系中的一般情形的“度量关系（距离、角）”未有表述；在空间向量与立体几何的教学内容要求中提出能用向量方法解决有关距离问题和夹角问题的“度量问题”. 显然，立体几何初步的教学对“角的度量”问题要求不高，三类“角”的概念教学重在服务于“位置关系”教学. 此外，课标中多次提出“借助长方体”来学习立体几何的相关知识内容，这一教学策略的高频次出现，实际上是在强调模型思想，以“基本立体图形——长方体”为模型载体，贯穿立体几何的教学.

教材分析：“角的度量”教学作为基本技能的教学，需要一定数量的数学题目进行讲授与训练. 人教A版教材（2019年版）必修第二册中有关“角”的例习题不多——共有7道例习题.其中，“线线角”有1道例题、1道习题；“线面角”有1道例题、1道习题；“二面角”有3道习题. 教材的编写与课标中的教学内容要求基本一致. 分析有关“角的度量”的例习题背景，不难发现“立体几何初步”教学的例习题背景设置主要是正方体（3题〈三类“角”各1题〉）、长方体（1题）、三棱锥（2题）、四棱锥（1题）等常见的基本立体图形，同样强调对基本立体图形的学习与認识. 事实上，三棱锥、四棱锥都可以视作正方体或长方体的一部分.

学情分析：“角的度量”的认知基础是各类“角”的概念，以及平行、垂直的判定与性质定理等，“角的度量”方法的学习是综合运用概念与定理的过程. 在解决具体问题时，学生需要从基本立体图形中抽象出“角”的问题，对空间想象能力要求较高，不同的观察视角都可能引起对图形理解的困难. 从“整体”的视角来认识“局部”的线线、线面、面面关系的意识有待学生进一步加强.

评价分析：高考对立体几何的考查不局限于用向量方法研究立体几何问题，几何方法和向量方法都是立体几何思维方法的重要考向.从评价的角度来看，应用向量方法研究立体几何问题前，有必要加强几何方法的教学，培养学生构建“几何”“向量”两条路的思维方法体系，避免学生解决“角的度量”问题时，只见“向量”不见“几何”.

基于上述分析，笔者将“角的度量”定为一个学习单元. 该单元以“模型”思想为教学核心，以“线串式”单元为教学组织形式，以期在牢固学生基础知识、基本技能的同时，发展数学核心素养.

单元框架设计

单元框架设计是单元教学设计的重要环节，关系着单元教学如何实施的问题.单元框架设计包括课时教学内容、单元教学目标、单元重点难点等内容.

课时教学内容：本单元教学内容分为3个课时，内容分别是线线角的求法、线面角的求法、二面角的求法.具体课时教学内容如表1所示.

单元教学目标：单元教学目标不是课时目标的累加，需要突出课时教学内容的联系性，避免课时教学的碎片化和随意性.根据课堂教学内容的共性，本单元的教学目标如下：

（1）“四基”层面的教学目标.①基础知识：深入理解基本立体图形——正方体，了解正方体中特殊位置的线线、线面、面面的位置关系；②基本技能：掌握求解三类“角”的基本方法，掌握“作角、证角、求角”的基本步骤；③基本思想：感悟模型思想、转化与化归思想；④基本活动经验：积累正方体中的线线、线面、面面位置关系的研究经验，为迁移至其他基本立体图形中的线线、线面、面面位置关系的研究做好类比基础.

（2）“四能”层面的教学目标.①能从“元素（线、面）”之间关系的微观角度来认识宏观的几何图形，发现并提出有关线线、线面、面面位置关系的度量计算问题；②能应用各类“角”的概念及相关知识，分析并解决各类“角”的度量计算问题.

（3）素养层面的教学目标. ①关键能力：借助正方体研究有关角的度量计算问题，发展学生直观想象素养；通过学习“作角、证角、求角”的方法，发展学生逻辑推理素养；②必备品格：通过探究活动，引导学生经历发现和提出问题，分析和解决问题的全过程，培养学生善于思考、严谨求实的科学精神，激发学生学习数学的兴趣.

单元重点难点：重点是应用各类“角”的概念及相关知识求解角的度量计算问题，结合各类“角”的求解过程与结果深入认识正方体模型；难点是各类“角”的作角方法的学习与掌握.

课时教学设计

本单元3个课时的教学内容联系紧密，教学模式与流程几乎一致，每个课时都可以为下一个课时积累学习经验，实现从学会到会学的单元教学价值. 下面以第3课时“二面角的求法”为例，呈现单元教学设计.

1. 发现问题

情境：如图1所示，正方体ABCD－ABCD的各个面能构成二面角吗？如果能，大小是多少？如果不能，请说明理由.

学生活动：学生独立思考，分类讨论，发现并解决问题.

教师活动：教师观察、交流，适时提出引导性问题.

活动结果：①相邻的两面能组成二面角，如二面角D－AD－C，二面角A－DD－C等，均为90°；②相对的面互相平行，不能组成二面角，因为二面角的定义为：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.

设计意图 以正方體为教学载体，引导学生运用二面角知识观察模型，明确模型中各个面的关系.同时，帮助学生复习二面角、二面角平面角的概念以及二面角的表示等基础知识.

问题1：如图2所示，已知正方体ABCD－ABCD的对角面ABCD，该对角面与正方体各个面所组成的二面角的大小分别是多少？

学生活动：学生独立思考，分类讨论，发现并解决问题.

教师活动：教师观察、交流，适时提出引导性问题.

活动结果：①平面AADD和平面BBCC与对角面ABCD构成的二面角均为90°；②平面AABB、平面ABCD、平面ABCD、平面CCDD与对角面ABCD构成的锐二面角均为45°.

设计意图 引导学生发现以正方体的各顶点构成的线与面，多视角观察正方体，学会用二面角的知识去研究它们之间的关系，会用数学的眼光观察基本模型，发现问题.

2. 提出问题

问题2：在正方体ABCD－ABCD中，你还可以提出一些有关二面角的问题吗？

学生活动：学生独立思考，发现、提出问题.

教师引导：为了使研究对象较为简单且集中，教师适时引导学生思考“正方体的各顶点能确定哪些特殊的平面？从这些平面间的关系能提出哪些有关二面角的问题？”

活动结果：①明确三类研究对象，分别为表面、对角面、三角面；②提出四类研究问题，分别为三角面与表面构成的二面角、三角面与对角面构成的二面角、三角面与三角面构成的二面角、对角面与对角面构成的二面角.在此基础上引导学生从直观、易于辨识的角度写出每类问题中的一个有关二面角的题目，比如以下四个题目.

题目1：（三角面与表面）如图3所示，在正方体ABCD－ABCD中，求二面角C－BD－C的大小.

题目2：（三角面与对角面）如图4所示，在正方体ABCD－ABCD中，求二面角D－BD－C的大小.？摇

题目3：（三角面与三角面）如图5所示，在正方体ABCD－ABCD中，求二面角A－BD－C的大小.

模型抽象：在题目3的基础上，连接AC，从正方体中抽象出正四面体（如图6所示），问题可以转化为“正四面体相邻两面所构成的锐二面角的大小是多少？”

题目4：（对角面与对角面）如图7所示，在正方体ABCD－ABCD中，求二面角A－BD－C的大小.

模型抽象：在题目4的基础上，从正方体中抽象出四棱锥（如图8所示），问题可以转化为“在底面是正方形的四棱锥D1-ABCD中，DD1⊥平面ABCD，且DD1=DC，求二面角A-BD1-C的大小”.

设计意图 引导学生学会用关系的眼光观察数学对象，多视角观察、认识正方体模型，建立正方体模型与正四面体模型、特殊四棱锥模型之间的关系，强化模型思想，增强载体化意识.引导学生在立体几何一般观念的引领下，从“元素（平面）”关系的角度感悟研究立体几何问题的一般思路和方法，培养学生发现、提出问题的能力，积累基本活动经验.

3. 分析问题

问题3：如何求二面角的大小？

学生：作出二面角的平面角.

教师：如何作二面角的平面角？

师生活动：教师借助题目1，分析作二面角平面角的本质和关键，建立作二面角平面角的一般模型（如图9所示），进而明确作图思路：在两个半平面中各探寻一点A，B，使得两点的连线AB与二面角的棱l相互垂直，再过点B作BH⊥l交l于H，连接AH.与题目1不同，题目2需要引导学生在作图的过程中，通过添加辅助线，构建出如图9所示的模型，作出二面角的平面角.题目1和题目2以教师讲授为主，题目3和题目4以学生实践为主，题目3和题目4的研究思路可以分别类比题目1和题目2.

设计意图 “作角”与“证角”“求角”分环节教学，意在分散教学难点，突破“作角”难点.通过四个题目的讲授与练习，引导学生经历学习方法、构建模型、转化应用等过程，建立模型意识，理解构建二面角作图模型的价值，掌握一种最为基础的作图方法，强化基本技能. 四个题目呈现了正方体、正四面体、特殊四棱锥等三种基本立体图形，通过“作角”，引导学生深入理解常见的基本立体图形的特征及性质.

4. 解决问题

问题4：如何表述二面角平面角的整个求解过程？

师生活动：引导学生结合具体问题，准确表述辅助线的作法，以及“证角”和“求角”过程.板书题目1的解答过程，做好教学示范；展示题目2的解答过程，形成对比，强调“作角”中的转化思想，体现“证角”和“求角”的共通性.学生自主练习题目3和题目4.

完成四个题目规范求解后，教师在题目4的基础上，提出思考题.

思考题：如图8所示，题目4的条件不变，求平面ADD与平面BCD所成的锐二面角的大小.

师生活动：引导学生思考并发现特殊四棱锥与正方体之间的关系，将问题转化为相应正方体的对角面与侧面构成的锐二面角问题.

设计意图 完善“作角”的表达，规范“证角”“求角”的书写，培养学生逻辑推理能力；提出“无棱二面角”的变式思考题，引导学生发现不同模型间的关系，体会模型思想，感悟模型价值.

单元教学思考

单元教学设计以整体教学功能为设计起点，从更高层次的視角观察、提取教学内容的共性，综合考虑共性要素间的关系，使得教学产生整体效益.

从单元教学设计类型来看，“横向迁移”和“纵向发展”是两个基本的设计类型. 本文呈现的“角的度量”单元教学设计是“横向迁移”的典型案例，第1课时的学习经验可以迁移到第2、第3课时，有助于学习过程中类比迁移的发生，促进学生由被动接受的“学会”转变为主动积极的“会学”. 对于“纵向发展”的单元教学设计，以“函数零点问题”为例，教材将函数零点问题编写为“函数的零点与方程的解”和“用二分法求方程的近似解”两个小节，“合二为一”方能构成研究函数零点（或方程的根）问题解决方法的全过程——先判断函数是否有零点，再估算零点的大小（或求出对应方程的根）.

从单元教学设计的教学目标来看，不妨以从“四基”“四能”到“三会”为设计主线，形成“宏观（课程目标）—中观（单元教学目标）—微观（课时教学目标）”的“课程—教学”目标链条，填补课程目标与课时教学目标之间的“沟壑”. “四基”以打好数学学习为基础，体现出基础性、整合性、结构性；“四能”立足问题解决活动，体现出情境性、过程性、探索性；“三会”立足行为养成，体现出实践性、创新性、发展性［4］. 这一设计主线能有效引导教师关注“双基”外的其他课程目标，通过单元教学实现更高层次的教学目标，有助于学生发展数学关键能力和核心素养.

单元教学设计需要一线教师有意识地发展、提高自身单元教学意识，通过将教学内容放置于单元中进行整体教学考量，助力教师教学行为和学生学习方式的转变.

参考文献：

［1］ 吕世虎，吴振英，杨婷，王尚志． 单元教学设计及其对促进数学教师专业发展的作用［J］. 数学教育学报，2016，25（05）：16-21.

［2］ 吕世虎，杨婷，吴振英. 数学单元教学设计的内涵、特征以及基本操作步骤［J］. 当代教育与文化，2016， 8（04）：41-46.

［3］ 陈彩虹，赵琴，汪茂华，汪晓慧，吁思敏，向荣． 基于核心素养的单元教学设计——全国第十届有效教学理论与实践研讨会综述［J］. 全球教育展望，2016，45（01）：121-128．

［4］ 黄翔，童莉，李明振，沈林. 从“四基”“四能”到“三会”——一条培养学生数学核心素养的主线［J］. 数学教育学报，2019，28（05）：37-40.