王根全 孙蕾

【摘要】隐含条件是在初中数学的解题当中具有两面性的作用，一方面它需要学生对题目进行细致的分析，增加学生解题的时间，加大学生解题难度，但另一方面它们能够为学生后续的解题提供方向，提高学生的解题效率.因此在日常解题中，教师要鼓励学生合理挖掘隐含条件，总结隐含条件的挖掘方法，培养科学的解题习惯，在快速的解题过程中提高解题能力.

【关键词】初中数学;隐形条件;解题能力

1 利用已知条件进行挖掘

对于某些题型，隐含条件一般就藏在已知条件之中，需要学生对已知条件进行转化思考，发现其与结论的另一种内在联系.在以往的解题中，学生往往只能注意到已知条件带来的直接结论，不会对它们进行更深层次的思考，忽略了隐藏条件的推理，这样不仅会降低解题效率，还可能导致解题失误.因此，学生要善于对已知条件中的隐含条件进行挖掘，实现对条件的灵活运用，提高解题的能力.

例1 已知菱形ABCD的边长为5，其对角线相交于点O，且AO、BO的长度x是方程x2+（2a-1）x+a2+3=0的解，请确定函数中a的值.

分析 此题所给得条件主要有菱形的边长以及函数解析式的形式，需要求解其解析式中的未知数a.

根据一元二次方程中根与系数的关系可以知道：m+n=1-2a和mn=a2+3这两个条件，但是m与m都是未知的，无法求解未知数a的值.此时需要结合题目中的已知条件“菱形”以及“边长为5”来挖掘隐含条件：菱形的对角线互相垂直，即对角线的一半与菱形的边可以构成一个直角三角形，故有：m2+n2=52.然后将m2+n2化为m+n和mn的形式，将其代入到方程中就可求得a的值.

解答 设菱形线段AO、BO分别为m、n，可知m、n为一元二次方程x2+（2a-1）x+a2+3=0的根.

所以 m+n=-ba=1-2a，mn=ca=a2+3，

由于菱形的对角线互相垂直，则AO、BO与菱形的边AB构成一个直角三角形，

所以 m2+n2=52，

因为m2+n2=（m+n）2-2mn，其中m+n=1-2a，mn=a2+3，

所以 （1-2a）2-2（a2+3）=25，

所以 a2-2a-15=0，

解之得 a=5或a=-3.

2 利用数形结合进行挖掘

数形结合的思想本身就是在图形中实现对隐含条件的挖掘，这类方法一般会出现在函数题或是几何题中，需要学生将直观的图像与代数公式联系起来，比如从图像中发现代数公式的约束条件或是对分类讨论的情况进行排除，这种基于数形结合思想的隐含条件挖掘法能够大大地简化解题过程，优化学生的解题思路，提高学生解题的效率和能力.

例2 已知二次函数y=k（x+a）2+b，其图像经过点M（-9，4），其顶点与原点O的距离为13，其图像的对称轴为x=-12，求该解析式的完整形式.

分析 首先结合题目中给出的已知条件整理出已知的参数：由于其解析式為y=k（x+a）2+b，则其对称轴为x=-a，顶点坐标为（-a，b），结合题目信息可知：-a=-12，a=12.然后根据剩下的信息绘制出函数的大致图像，并挖掘图像中的隐含条件：由于其顶点与原点O的距离为13，根据数形结合利用勾股定理可知：a2+b2=132这一隐含条件，已知a=12，则b=±5.又因为其图像经过点M（-9，4），将x=-9，y=4代入到解析式即可知关于k的方程：4=k（-9+12）2±5，解之可得k有两个值分别为1和-19，最后将k值代入即可得出原函数的解析式形式.

解答 根据函数解析式的形式y=k（x+a）2+b，

可知 图像的对称轴为x=-a，顶点为（-a，b）;

因为图像的对称轴为x=-12，所以-a=-12，a=12，

又因为其顶点与原点O的距离为13，结合勾股定理可知a2+b2=132，

所以 b=±5，

因为函数图像经过点M（-9，4），将其代入函数解析式

可得 4=k（-9+12）2±5，分别求解

可得 当b取-5时，k1=1;

当b取5时，k2=-19，

综上所述，函数解析式为：y=（x+12）2-5或y=-19（x+12）2+5.

3 利用取值范围挖掘隐形条件

在初中数学题目中，尤其是函数类题目中，其函数值的取值范围或是定义域本身的取值范围都会直接影响到最终的结论.因此学生在解答这类题目时，首先要对函数的值域和定义域的取值范围进行确定，通过对函数形式的变形等挖掘那些隐藏在取值范围内的隐含条件，简化后续的解题步骤，实现解题效率的最大化，提高题目求解的准确率.

例3 已知函数y=f（x）=-12x2+x，试确定是否存在实数a、b，当x的取值范围为[a，b]时，函数值y的取值范围是[2a，2b].

分析 此题常规的解法是分类讨论法，即分三种情况对a、b的值进行讨论求解.将a、b的取值分为a≤b≤1，b≥a≥1以及a≤1≤b三种情况，然后结合二次函数的图像位置进行分类讨论，这样的解法过于耗时，且步骤比较复杂.在该题中，学生应该聚焦于函数本身的形式，通过对函数表达式进行变形来提前确定函数值域，即从取值范围挖掘隐含条件：f（x）=-12x2+x=-12（x-1）2+12，则隐形条件为f（x）≤12.这样就可以大大缩小a、b的取值范围，只取上述三种情况的最后一种情况：a≤b≤1，然后将（a，2a）、（b，2b）代入函数表达式中，通过解方程即来确定a、b的值，若方程可解则说明存在实数a、b，当x的取值范围为[a，b]时，函数值y的取值范围是[2a，2b].

解答 已知f（x）=-12x2+x，

其形式可化为 f（x）=-12（x-1）2+12，

所以 f（x）≤12，当且仅当x=1时取等号.

根据题目中函数值y的取值范围是[2a，2b]，

所以 2b≤12，即b≤14.

根据题目可知

f（a）=2af（b）=2b，

所以 -12a2+a=2a-12b2+b=2b，

又因为 a≤b≤14，

所以 a=-2b=0，

所以当a=-2，b=0时，函数值y的取值范围为[-4，0].