阮秋月

【摘要】“垂直平分线”和“角平分线”是学习初中数学和解决数学问题中常遇和常用的“两线”，它们在定义、性质和判定等方面具有一些相通点.本文尝试在分析这些相同点的基础上，寻找用“两线”解决问题的巧妙之处，从而帮助初中生更高效的解题.

【关键词】“垂直平分线”;“角平分线”;数学解题

“垂直平分线”和“角平分线”作为初中数学几何部分的内容，在代数部分也举足轻重，尤其是在压轴题中其综合性体现得非常明显.同时，“两线”结合也是学生解题的难点所在，如何巧妙应用“两线”解决数学问题，对提升学生的解题效率和准确率非常关键.

1 “垂直平分线”和“角平分线”的相通之处

“垂直平分线”和“角平分线”虽然是初中几何部分两个不同的教学内容，但是它们的知识点安排，如定义、性质、判定、尺规作图等，具有异曲同工之妙.教师要想学生能够灵活、巧妙的利用“垂直平分线”和“角平分线”解决数学问题，就要让学生对这“两线”各自的内容及其相通之处有所了解[1].本文认为，“垂直平分线”和“角平分线”的相通之处主要体现在以下四个方面：

首先，定义相通.从“垂直平分线”和“角平分线”这“两线”的定义不难看出，“垂直平分线”重在说明线段被平分，而“角平分线”重在说明角被平分.所以，从“垂直平分线”和“角平分线”这“两线”在定义方面的相通之处在于“平分”，即抓住了“平分”也就抓住了从“垂直平分线”和“角平分线”这“两线”的定义.

其次，性质相通.从“垂直平分线”和“角平分线”这“两线”的性质可以看到，“垂直平分线”和“角平分线”这“两线”都重在说明“距离相等”，这是它们的相通之处.不同的是，“垂直平分线”中的“距离”是指点到点的距离，而“角平分线”中的“距离”是指点到边的距离.总之，抓住“距离相等”和“点到点的距离”、“点到边的距离”几个关键词，就可以掌握“垂直平分线”和“角平分线”的重点和难点.

再次，判定相通.“垂直平分线”和“角平分线”的判定都是证明一条线的属性或归属.如“垂直平分线”的判定定理证明的是一条直线是一条线段的垂直平分线，“角平分线”的判定定理证明的是一条射线是一个角的平分线.但需要注意它们的不同，那就是证明一条直线为垂直平分线时，需要分别证明两个不同的点在这条直线上，而证明一条射线为角平分线时，需要说明这个点在这个角的内部[2].由此可见，抓住了它们的不同之处，也就抓住了它们的本质.

最后，作法相通.从“垂直平分线”和“角平分线”的尺规作图方法不难看出，“垂直平分线”的尺规作图方法是“角平分线”的尺规作图方法的基础，都要以两个不同的端点为圆心，都要以大于线段二分之一的长度为半径，都是两条圆弧的交点.换言之，“角平分线”的尺规作图是在“垂直平分线”的尺规作图基础上进行的[3].另外，作法相通还表现在图形的构造上，都凸显了全等三角形和等腰三角形.第一，在作“垂直平分线”时，圆弧的交点和线段端点、垂直平分线就构造出了两个全等的三角形，在这作“角平分线”时，两种不同圆弧的交点与角平分线就构成了两个全等三角形.第二，线段两个端点和一个圆弧交点形成的图形为等腰三角形;画角平分线的理论依据就是等腰三角形的“三线合一”，即底边的垂直平分线和顶角的角平分线“合二为一”，这里再一次说明了“垂直平分线”的尺规作图方法是“角平分线”的尺规作图方法的基础.

2 基于“两线”的初中数学题巧解思路

2.1 利用“平分”巧解

例1

如图1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，DE垂直平分AB于点D.

求证：BE+DE=AC.

点拨与解析本题是典型的“垂直平分线”和“角平分线”结合问题.由于BE、DE和AC很难发现他们之间的数量关系，但是可以通过转化的方法将这三条线段化为一条，这就是数学中典型的化归思想.具体可以按如下步骤操作：首先需要借助“垂直平分线”的性质将BE和AE相互转换，然后要利用“角平分线”的性质将CE和DE相互转换.在转换之后，便容易由AC=AE+EC得到AC=BE+DE.

2.2 利用“距离相等”巧解

例2

如图2所示，已知∠AOB 平分线上一点E，且EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为点 C，D.

求证：（1）OC=OD;（2）OE是CD的垂直平分线.

点拨与解析 本题中两次利用到了“距离相等”，第一次是利用了角平分线中的“点到边距离相等”，即DE=EC，第二次是利用了垂直平分线的“点到点距离相等”，即OD=OC，这是“垂直平分线”和“角平分线”中典型的“距离相等”相通之处.看到“∠AOB 平分线上一点E，且EC⊥OA，ED⊥OB”，马上就要想到是角平分线的性质，看到“OC=OD”，马上就要想到是否与线段的垂直平分线有关，这都是灵活解题的表现.而“垂直平分线”和“角平分线”还有“全等三角形”相通之处，所以（1）（2）两问是否可以借助这一相通之处解决就变得非常重要.

2.3 利用“全等”巧解

例3

如图3所示，在△ABC中，DF是边BC的垂直平分线，AD是△BAC一个外角的角平分线，DF与AD相交于点D，DE⊥于 E，且 AB > AC.

求证：BE-AC=AE.

点拨与解析 本题是要证明BE、AC、AE三边之间的关系，而从图形中不难发现AB-BE=AE.很明显，这需要构造三角形并证明它们全等，恰巧“垂直平分线”和“角平分线”有一个相通之处是“作法相通”，根據上文分析其实就是“三角形全等”.基于此，就应该马上想到如何利用“垂直平分线”和“角平分线”构造出“全等三角形”，而这就需要连接DB和DC，同时还需要过D点作DM⊥AC.这样作辅助线的灵感主要来自三个方面：其一，连接DB和DC是由“DF是边BC的垂直平分线”这个条件想到;其二，过D点作DM⊥AC是由“AD是△BAC一个外角的角平分线”这个条件想到;其三，构造“全等三角形”是由“BE-AC=AE”这个条件想到.

2.4 利用“相等”巧作辅助线

例4

已知，如图4所示，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC，PE⊥AC，PF⊥AB，垂足分别为E、F.

求证：PE=PF.

点拨与解析 本题是非常典型的“两线”问题.在“两线”问题中，往往需要依靠作辅助线才能得到解决，而如何作辅助线，其中有一定技巧，抓准题中“相等”关系的量非常关键，如本题中的“AB=AC”、“PB=PC”，都是巧作辅助线的突破口.所以，本题的解决思路大体是：首先，如图5所示连接AP.然后，根据

AB=AC、PB=PC，外加一条公共边AP，就证明了△ABP和△ACP是全等三角形，在此基础上得到∠BAP=∠CAP.再结合P为∠A内一点，得到AP为∠A的角平分线.最后，根据PE⊥AC，PF⊥AB，结合角平分线的性质可知PE=PF.需注意的是，首先，本题中证明AP是∠A的角平分线不能仅凭∠BAP=∠CAP这一个条件得到，而需结合P为∠A内一点这個条件，因为“角平分线的判定”中明确了“在角的内部”这一基础条件，切勿遗漏.其次，本题中综合了角平分线的性质和判定，而这学生对这两大内容极易混淆，在本题解决过程中切勿因混淆而致错.

3 “两线”问题解决过程中应避免的错误

在初中数学几何部分，“垂直平分线”和“角平分线”是非常重要且基础的两个知识点，其一方面体现在知识体系规善上，另一方面体现在解题思维拓展上.但是，无论从哪个方面审视该知识点，都应注意以下易错点的规避：

第一 准确理解“平分”.相对而言，角平分线中的“平分”比较容易理解，无论是在其性质还是判定都是如此.这里所说的准确理解“平分”，重点在于垂直平分线.如图6所示，由于DE垂直平分AB，易得DE⊥AB和AD=DB，这是正确的解题思路.但是，很多同学容易在类似于图6的问题中出错，认为在DE垂直平分AB的情况下还可以得到ED=FD.

第二 准确区分性质与判定.无论是垂直平分线，还是角平分线，它们都有性质与判定.

首先，垂直平分线的性质是“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”，垂直平分线的判定是“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合”.不难看到，垂直平分线的性质和定理是互逆的，要想精准掌握，还需仔细揣摩.这里需注意的是，在判定垂直平分线时，需证明两个点同时在一条直线上才能得到该直线为垂直平分线上，这是学生极易犯错之处.如图6所示，只依靠AE=BE，DE垂直AB只能证明点E在直线EF上，还应用同样的方法证明点F也在直线EF上，然后才能得到直线EF是线段AB的垂直平分线.另外需注意的是垂直平分线是直线，而角平分线是射线，这是它们的本质属性.

其次，角平分线的性质是“角平分线上的点到角两边的距离相等”，角平分线的判定是“角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上”.这里需要注意的是，“角平分线的判定”中明确了“角的内部”这一基础条件，证明时切勿遗漏该条件.正如例4中，在证明AP是∠A的角平分线时，一定要结合“∠BAP=∠CAP”和“P为∠A内一点”两个条件.要知道，在例4中明确给出了“P为∠A内一点”，学生在解本题时要意识到这一条件绝对不是命题者“多此一举”.

参考文献：

[1] 刘顿.两线联姻，轻松解题[J].初中生之友，2011（29）：32-33.

[2] 王友峰.“三用”线段垂直平分线和角平分线定理解题[J].初中生学习指导：初三版， 2012（17）：103-105.

[3] 赵兴荣，祁乐珍.线段垂直平分线与角平分线的“证”与“用”[J].数学学习与研究， 2011（20）：86-86.