黄培龙

【摘要】数学中的很多求距离的问题都是根据“将军饮马”这个典故而来的，解答这类问题一定要注意运用数形结合的方法，一般来说根据示意图然后用对称的知识将问题转变成为两个点之间的距离问题，然后根据两点之间距离最短这个知识找到相对应的位置和最大值或最小值即可.

【关键词】将军饮马;初中数学;数形结合

经典的“饮马问题”相信很多人都听说过，这位将军想要到从地点A作为出发点先去河边饮马，然后再去另一营地检查，需要我们帮助求解的是选择哪一个饮马的地点刚好能够令整个行驶的路程是最小的？其实河边能够饮马的地点有很多個，但是需要找出能够让两个线段相加的和最小的那个地点，我们就需要先用l来假设一条河，如图1所示，将AO与直线l相垂直并与直线l有一交点，这个交点用点O表示，将线段AO延长，直到到点A′，此时就有A′O=AO.再将A′这个点和点B相连，使得直线l与线段A′B相交于点C，那么C点就是我们需要找出的最合适的能够使路程最短的饮马的地点.然后将点A与点C相连接，即为线段AC，那么就能求得线段AC+CB的值就是我们需要求的路程的最小值.

那么为什么点C是能够令行驶路程最短的饮马地点呢？这是由于关于直线l的对称点分别是点A和点A′，那么线段AC和线段A′C就是大小相等的两条线段.又因为A′B也是一条线段，因此我们可以知道A′B就是点A′和点B之间的路程最短的一条线段，因此就有AC+CB=A′C+CB=A′B，这就是我们需要找的路程最短的一条路径.这个问题主要利用了轴对称的变换的相关知识进行求解进而找到的一种最为简单的解答方式.这个故事已经是许多出题人青睐的出题背景，其本质就是考查直线上的动点和两个定点之间的距离的和的问题，本篇文章将会通过一些例题来对动点与定点的距离关系进行分析和讨论.

1 与正方形相结合

例题1 已知有一正方形ABCD，如图2所示，其面积大小为12，点E是这个正方形中的一点，点A、B、E恰好能够构成一个△ABE，且该三角形的三条边都相等，如果此时在正方形ABCD的对角线AC存在一个点P，能够使得PD+PE的距离最小，那么这个最小值的大小等于（）.

A、2 3B、2 6C、3D、 6

剖析 如图3所示，根据我们所学的知识可知，正方形ABCD是一个轴对称图形，且它的一条对称轴就是其对角线AC，而关于对角线AC对称的两个顶点分别是点B和点D，已知这个题目中的两点D、E都是定点，只有点P是动点.因此我们就可以找到其中的一个定点D的轴对称点为点B，将点B和点E相连得到线段BE，通过观察和分析我们可以发现，线段BE的大小刚好与PD+PE的长度相等，又因为已知正方形ABCD是一个面积等于12的图形，借此求得它的边长就等于2 3，即为我们需要求解的答案，因此正确选项为A.

2 与梯形相结合

例题2 存在一个直角梯形ABCD，且已知在这个梯形中AD∥BC，AB⊥BC，现假设这个梯形AD的长度等于2，BC=DC=5，且有一个能够在BC上任意移动的点P，那么在PA+PD的取值最小时，△APD中边AP的高等于（）.

A、217 17 B、417 17

C、817 17D、3

剖析 如图4、5所示，首先找到点A关于线段B的对称点，即点E，将D、E相连接，那么P点就是线段DE和线段BC的交点，再连接线段AP，然后经过点D作一条垂直于线段BC的垂线，即DF⊥BC，过点D作DG⊥AP，垂足为G.然后我们就可以借助勾股定理和梯形的相关知识求得线段DF的长度，即DF=4，进而求得AB=4，又因为AB=BE并且满足AD∥BC，那么就能得到△ADE的中位线即为BP，因此BP=12AD=1，即求得AP= 17.又因为三角形ADP的面积S=12AD×DF=12AP×DG，那么就能得到△APD中边AP的高DG的值等于AD×DFAP=817 17，即正确的选项为C.

3与圆相结合

例题3 如图6所示，已知半径等于5的⊙O的两条弦为AB、CD，且AB=8、CD=6，MN的长度恰好等于半径的两倍，AB⊥MN于E点，CD⊥MN于点F，在线段EF上有一任意点P，那么线段PA+PC的最小值等于.

剖析 如图7所示，首先利用对称的相关知识找到点P的具体位置，将点B、C相连，即得到线段BC与线段MN有一交点为P，然后利用垂直定理可知：AE=4，CF=3，EF=7.经过C点作CG⊥AB于点G，那么在直角三角形BCG中，就有CG=EF=7，BG=BE+EG=4+3=7，因此PA+PC的最小值就等于BC=7 2.

4 与直角坐标系相结合

例题4 在一平面直角坐标系里面，分别存在点A3，-2和点B4，2两个点，如果在该坐标系中再取一个点C1，n，那么当AC+BC的取值最小时，n应该为多少？

剖析 如图8所示，将点A3，-2和点B4，2这两个点的位置在坐标系中表示出来，在这个题目中这两个点都是一个定点，但点C1，n在直线x=1上，那么我们就能借此得到A3，-2关于直线x=1对称的点A′-1，-2，进而求得分别经过B点和A′点的直线的解析式y=45x-65，因此当x=1时，得到n=-25.

评析 这个题目将点的坐标和一次函数的知识相结合，主要对学生的数形结合的能力进行考查.这类型的题目解答的时候可以画出示意图，将点的位置在坐标系中表示出来，就可以很清晰的明白“将军饮马”这个背景，再将之与坐标的相关知识相结合就可以求出对称点的坐标，最后就能够与一次函数的知识相结合进而求得正确的答案.