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一次函数的图像与三角形面积的综合应用

2022-07-24王照芳

数理天地(初中版) 2022年6期
关键词:一次函数综合应用初中教学

王照芳

【摘要】由于一次函数的图像(b≠0)是一条不过原点的直线,它与横、纵坐标各有一个交点,那么直线和坐标轴之间就会形成一个三角形.在一次函数的图像和三角形面积一同出现时,要学会将线段长用点与点之间的距离刻画出来.

【关键词】一次函数;综合应用;初中教学

例1 已知直线y=kx+6与两个坐标轴围成的三角形的面积是24,求常数k的值.

解 设直线y=kx+6与两个坐标轴的交点分别为A、B,

令x=0,y=6;令y=0,x=-6k,

所以,得到A、B的坐标分别为(0,6)、(-6k,0),

所以,O与A点之间的距离是:OA=|6|=6,

O与B点之间的距离是:OB=|-6k|.

所以,三角形的面积是:

12OA·OB=12·6·|-6k|=24,

于是,3·|-6k|=24,|-6k|=8, |-6|k=8

6k=8,|k|=34,

所以,k=±34.

例2 已知直线y=-12x+52,求直线与两个坐标轴围成的图形的面积.

解 设直线y=-12x+ 52与x、y轴的交点分别为M、N,

令x=0,y=52;令y=0,x=5,

所以,得到M、N的坐標分别

为(5,0)、(0,52),

画直线y=-12x+ 52,

函数图像,如图1所示.

所以,O与M点之间的距离是:

OM=|5|=5.

O与N点之间的距离是:

ON=|52| = 52.

所以,△MON的面积是:

12OM·ON=12×5×52 =254.

例3 已知一次函数y=kx-4(k<0)的图像与两坐标轴所围成的三角形的面积等于8,求该一次函数的表达式.

解 设直线y=kx-4与两个坐标轴的交点分别为E、F,

令x=0,y=-4;令y=0,x=4k,

所以,得到E、F的坐标分别为(0,-4)、(4k,0),

所以,O与E点之间的距离是:OE=|-4|=4,

O与F点之间的距离是:OF=|4k|,

所以,三角形的面积是:12OE·OF=12·4·|4k|=8.

于是,2·|4k|=8,|4k|=4, |4k|=4.

4k=4,|k|=1.

所以,k=±1,

因为k<0,

所以,k=-1,

所以,该一次函数的表达式是y=-x-4.

例4 已知直线y=x+3与两坐标轴分别交于A、B两点,直线L经过原点,与线段AB交于点C,把△AOB分成面积比为2∶1的两部分,求直线L的表达式.

解 如图2所示,当直线L把△AOB分为△AOC和△BOC且它们的比为2∶1时,过点C分别作x、y轴的垂线,垂足分别为F、E.

设直线L的表达式为y=kx,

令x=0,y=3;令y=0,x=-3;

所以,得到A、B的坐标分别为(-3,0)、(0,3),

所以,O与A点之间的距离是:OA=|-3|=3,

O与B点之间的距离是:OB=|3|=3,

所以,△AOB的面积是:12OA·OB=12×3×3=92.

因为直线L把△AOB分为△AOC和△BOC且它们的比为2∶1,

所以,△AOC的面积是:92×23=3,

△BOC的面积是:92×13=32,

因为△AOC的面积=12OA·CF=12×3×CF=3,所以CF=2,

同理可得:CE=1.

因为F点在x轴的负半轴,而E在y轴的正半轴,

所以,C点的坐标是(-1,2),

所以,直线L的表达式是y=-2x,

如图3所示,当直线L把△AOB分为△AOC和△BOC且它们的比为1:2时,过点C分别作x、y轴的垂线,垂足分别为F、E.

于是,△AOC的面积是:92×13=32,△BOC的面积是:92×23=3,

因为△AOC的面积=12OA·CF=12×3×CF=32,所以CF=1.

同理可得:CE=2.

因为F点在x轴的负半轴,而E在y轴的正半轴,

所以,C点的坐标是(-2,1),

所以,直线L的表达式是y=- 12 x,

综上所述,直线L的表达式是y=-2x或y=- 12 x.

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